数学分析复习：洛皮达定律、泰勒公式
文章目录
- 洛必达法则
- Taylor展开公式
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
洛必达法则
命题：L’Hopital（洛必达）法则
设
f
,
g
f,g
f,g 是区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上的实值可微函数，假设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
=
o
(
x
−
a
)
f(x),g(x)=o(x-a)
f(x),g(x)=o(x−a)，即
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
a
+
g
(
x
)
=
0
\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=0,\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=0
x→a+limf(x)=0,x→a+limg(x)=0
设对任意
x
∈
(
a
,
b
)
,
g
′
(
x
)
≠
0
x\in(a,b),g'(x)\neq 0
x∈(a,b),g′(x)=0，若极限
lim
x
→
a
+
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}
x→a+limg′(x)f′(x) 存在，则
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
+
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}
x→a+limg(x)f(x)=x→a+limg′(x)f′(x)
证明（Cauchy中值定理）
由于
f
,
g
f,g
f,g 在区间
[
a
,
x
]
[a,x]
[a,x] 上连续并且在
(
a
,
x
)
(a,x)
(a,x) 上可微，由 Cauchy中值定理，存在
ξ
(
x
)
∈
(
a
,
x
)
\xi(x)\in(a,x)
ξ(x)∈(a,x)，使得
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
=
f
′
(
ξ
(
x
)
)
g
′
(
ξ
(
x
)
)
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}
g(x)f(x)=g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g′(ξ(x))f′(ξ(x))
由于
a
<
ξ
(
x
)
<
x
a<\xi(x)<x
a<ξ(x)<x，当
x
→
a
+
x\to a^+
x→a+ 时，则有
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
+
f
′
(
ξ
(
x
)
)
g
′
(
ξ
(
x
)
)
=
lim
x
→
a
+
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}
x→a+limg(x)f(x)=x→a+limg′(ξ(x))f′(ξ(x))=x→a+limg′(x)f′(x)
注：类似可证 a = ∞ a=\infty a=∞ 的情形
Taylor展开公式
定理：Taylor展开公式
Peano余项
设函数
f
:
[
a
,
b
]
→
R
f:[a,b]\to\mathbb{R}
f:[a,b]→R 在
a
a
a 处有直到
n
n
n 阶的导数，则当
x
→
a
+
x\to a^+
x→a+ 时，有
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
o
(
(
x
−
a
)
n
)
f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)
f(x)=k=0∑nk!f(k)(a)(x−a)k+o((x−a)n)
Lagrange余项
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设函数
f
∈
C
n
[
a
,
b
]
f\in C^n[a,b]
f∈Cn[a,b]，若
f
f
f 在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 上
n
+
1
n+1
n+1 次可导，则
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
R
n
(
x
)
f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)
f(x)
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