LeetCode 访谈系列第 5 天：第 204 期 - 统计素数

在上篇算法题的文章中，我们介绍了 LeetCode 中的一道数学题 - 快乐数 。今天，我们来聊聊质数(英文是Prime，也称为素数)相关的面试题。以前很多编程书上会有个经典问题，即判断一个数是否是质数，在那之后大家应该对判定质数的逻辑有了一定的认识。今天呢，我们来解决一个进阶问题，如何计算一个区间内素数(质数)的数量。

今天要给大家分析的面试题是 LeetCode 上第 204 号问题，

LeetCode - 204. 统计质数

https://leetcode-cn.com/problems/count-primes/

题目描述

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例:

1. 输入: 10
   
2. 输出: 4
   
3. 解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
   

• 贡献者: LeetCode
  
  
• 题目难度: Easy
  
  
• 通过率: 30.23%
  
  

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解题思路:

1. 遍历每个数，判断它是否为素数。
   

基于传统教科书中的算法 IsPrime(其流程见下图)来做，即在 IsPrime算法外套一个循环来做，由于下面流程的时间复杂度 T(n) = O(n*log n)，于是整体算下来整个算法最后的时间复杂度为 O(n * n * log n)，这个算法的时间复杂度是不达标的。

   2. 使用一个筛子，把每一个是合数的数干掉，记录其状态 isDelete，用isDelete=true表示不是质数，已被删掉，而fasle表示留下了，是质数。这个方法被称为筛法(Sieve Method)。

筛法又分为埃拉托斯特尼筛法（埃筛）和欧拉筛（线性筛）两种。埃筛是用一个数组标记是否为素数，然后依次筛去这个素数的倍数，其时间复杂度是O(n*log n)。而欧拉筛是在埃筛的基础上，让每一个合数都只被他的最小质因子筛去，从而减小时间。欧拉筛的复杂度几乎是O(n)，由于其代码相对比较难理解，就不详细介绍了。

下面我们使用埃筛来统计质数数量，具体操作是从2开始维护一个bool数组isDelete来记录该数是否被删掉，依次删掉当前索引 i 的倍数，最后数组中未被删掉的值(其isDelete值为false)都是素数。

已AC代码 解法1:

1. class Solution:
   
2.    def countPrimes(self, n: int) -> int:
   
3.        if n < 2:
   
4.            return 0
   
5.        else:
   
6.            isDelete = [False]*n
   
7.            max0 = int(math.sqrt(n))
   
8.            count = 0
   
9.            for i in range(2, n):
   
10.                if isDelete[i] == True:
    
11.                    continue
    
12.                count += 1
    
13. 
    
14.                if i > max0:
    
15.                    continue
    
16. 
    
17.                for j in range(i*i, n, i):
    
18.                    isDelete[j] = True
    
19.        return count
    

ps: 由于这段代码使用了数学库函数 sqrt()，于是本地测试需要在开头引入 math库，其代码如下:

1. import math
   
2. class Solution:
   
3.    def countPrimes(self, n: int) -> int:
   
4.        if n < 2:
   
5.            return 0
   
6.        else:
   
7.            isDelete = [False]*n
   
8.            max0 = int(math.sqrt(n))
   
9.            count = 0
   
10.            for i in range(2, n):
    
11.                if isDelete[i] == True:
    
12.                    continue
    
13.                count += 1
    
14. 
    
15.                if i > max0:
    
16.                    continue
    
17. 
    
18.                for j in range(i*i, n, i):
    
19.                    isDelete[j] = True
    
20.        return count
    
21. 
    
22. sol = Solution()
    
23. print(sol.countPrimes(5566))
    

执行用时 : 492ms, 在所有 Python3 提交中击败了 47.44%的用户.

已AC代码 解法2:

1. class Solution:
   
2.    def countPrimes(self, n: int) -> int:
   
3.        if n < 2:
   
4.            return 0
   
5.        else:
   
6.            isPrime = [1]*n  # isPrime = not deleted
   
7.            isPrime[0] = 0
   
8.            isPrime[1] = 0
   
9. 
   
10.            for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
    
11.                if isPrime[i]:
    
12.                    isPrime[i*i:n:i] = [0]*((n-1-i*i)//i + 1)   # slice: a[start:stop:step] # items from the beginning through stop-1
    
13.        return sum(isPrime)
    

执行用时 : 100ms, 在所有 Python3 提交中击败了 94.27%的用户.

参考资料:

Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析 - Gavin_Nicholas的博客 - ****

https://blog.****.net/Gavin_Nicholas/article/details/88974079