第 7 课 盈亏问题中的乘数关系

在盈亏问题前几章的图形绘制中，我们利用框代表“是一的物体”，“多的物体”则用数字表示写在框中。而在盈亏问题的差额关系中，我们利用框代表等量的关系，每一个框代表唯一的一个物体，例如1千克，一段固定的距离等等。今天我们来讲盈亏问题中的倍数关系，在这里我们将赋予框新的含义。

操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；若甲乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。求两堆货物一共有几吨？

一 绘制图形

在前面的课程中，我们利用图形分析事物的变化过程，对于变化的物体，我们要通过每一个节点的变化，找到变化的规律，然后利用数学的算式来表达这种规则性的变化。

而这里，我们不是研究事物变化的规律，而是研究两个物体之间的量的关系，例如：一样多，乙是甲的3倍等等。这类题通常是会有多种关系的变化，例如当符合某个条件的时候，两者具有一种关系。当条件变化的时候，他们的关系也随之变化，从而符合另一种关系。

让我们来把这题中的两种状态绘制出来：

（1）当两种货物一样重的时候

甲到达这种状态的前提是增加了80。乙到达这种状态的前提是增加了25。所以甲原来的数量是白色的部分，而乙原来的数量是白色部分加上粉色部分。通过图形我们可以得出乙原来比甲多的部分是粉色部分。而粉色部分可以通过灰色减去淡蓝色得出。这样我们就可以知道起初乙比甲多80-25=55吨。

而这个结果可以在后面分析中被利用。

（2）乙是甲3倍的时候

此时甲运走了5吨，乙也运走了5吨。而在前面的分析中我们知道乙比甲多55吨。那么两堆同时移走5吨，其差额依旧不变。所以解这题的条件变成了：乙比甲多55，而乙是甲的3倍，求甲和乙。

我们通过图形来呈现：

至此，我们又回到了昨天的课堂。这里框代表甲，由于乙是甲的三倍，因此我们用三个框来表示。比较两幅图，乙比甲多出两个甲。而由于乙比甲多55，这就意味着两个甲为55，所以甲为27.5吨。于是整道题的突破口就找到了。

二 小结

在这里，框不再是一个确定已知的量，而是一个未知的量。但是框和框代表的却是相同的量，即甲中的框和乙中的框代表的物体的量是一样的。因此，当我们说甲是一个框的时候，因为乙是甲的3倍，所以我们可以用3个框来表示乙。图形从表示一个具体的量，变成了表达物体之间的关系。这就进入了代数的领域。下一堂课我们将研究利用字母来代替图形进行分析和推算。

三  解决问题

    1.乙比甲多

        80-25=55吨

    2.甲拿走5吨后的重量

        55÷（3-1）=27.5吨

    3.甲的重量

        27.5+5=32.5

    4.乙的重量

        32.5+55=87.5吨

    5.合计重量

        32.5+87.5=120吨

四 课后练习

1.某幼儿园给小朋友分苹果和梨，苹果的个数是梨个数的2倍。如果每人分5个梨，则最后余下15个。如果每人分14个苹果，则苹果差30个。问幼儿园有梨和苹果各多少？

2.某粮仓里大米的吨数是面粉吨数的2倍。如果每辆车运面粉3吨，还剩下5吨面粉；如果每辆车运大米7吨，正好运完。问粮仓里有大米和面粉各多少？

3.粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加60吨，面粉减少45吨，则大米和面粉一样多；如果在购进面粉35吨，面粉刚好是大米的3倍。原来大米和面粉各有多少？

五.费曼讲解

在我们实际指导孩子解题的过程中，不仅仅要让孩子具备完整的解题思路和解题技巧，还要训练孩子讲解的能力。把一件事讲清楚，让别人听懂。我们将课后练习的第1题制作成了讲解视频，你可以参考里面的讲解过程，训练你的孩子把他的解题过程讲解清楚。

，时长03:43

六 练习答案

1.梨90苹果180

2.面粉35大米70

3.大米70面粉175