机器学习：MAE、MBE 和 MSE

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1/mae（又称为L1损失函数）

mean absolute error （ 平均 绝对 误差 ）
absolute:绝对的

优点：相比于mse这种评价指标，mae可以更加真实的反应真实值和预测值之间的diff.
     不会像mse那样，因为平方的关系，而导致error>1的时候，进行平方之后会被放大
     
缺点：从上面第二张图中也可以看出来，它的梯度每次更新的时候都是一样的，及不会因为误差的减小而减小。
     这样不利于模型的训练。

总结：所以不能仅仅根据mae的大小来说明模型预测能力的好坏，因为mae的大小和数据的量级有关系。
     我们可以把降低mae作为我们迭代模型的目标。
     
mae是另一种用于`回归`模型的损失函数
mae是真实值与预测值之差的绝对值之和。
mae只是衡量了预测值与真实值之间误差的平均模长，而没有考虑方向，取值范围是0到正无穷。
如果考虑方向的话，则是误差的总和，称为平均偏差mbe (mean bias error)

2/mbe

mean bias error 
平均偏差
就是：真实值与预测值之间的diff，不能只考虑大小，也需要考虑方向。
比如，真实值是[10,8,12,6,8]
     预测值是[12,6,11,7,8]

那么mbe = （（-2）+ 2 + 1 + （-1）+0 ） / 5 

计算mbe的代码

import numpy as np

def mbe(y_true, y_pred):
    '''
    Parameters:
        y_true (array): Array of observed values
        y_pred (array): Array of prediction values

    Returns:
        mbe (float): Biais score
    '''
    # 转化为数组
    y_true = np.array(y_true)
    y_pred = np.array(y_pred)
    
    #更改数组的形状shape
    y_true = y_true.reshape( len(y_true),1 )
    y_pred = y_pred.reshape( len(y_pred),1 )
   
    diff = ( y_true - y_pred )
    mbe = diff.mean()
    print('MBE = ', mbe)

y_true = [10,8,9,12,8]
y_pred = [9,10,7,10,8]

mbe(y_true,y_pred)

3/mse（又称为L2损失函数）

mean square error （平均平方误差），也称为均方差
和mae不同的地方是：
把所有真实值与预测值的diff，先计算平方，然后累加求和。最后除以m(计算均值)

反映预测值与真实值之间差异程度的一种度量，
换句话说，预测值与真实值差的平方的期望值。
MSE可以评价数据的变化程度。
MSE的值越小，说明预测模型的预测能力越好。

mse是最常用的回归损失函数

4/mae（L1损失函数）和 mse（L2损失函数）的比较

简单来说，MSE计算简便，但MAE对异常点有更好的鲁棒性。下面就来介绍导致二者差异的原因。
训练一个机器学习模型时，我们的目标就是找到损失函数达到极小值的点。
当预测值等于真实值时，这两种函数都能达到最小。
下面是这两种损失函数的python代码。你可以自己编写函数，也可以使用sklearn内置的函数。

   
# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
# true是真实值，pred是预测值
def mse(true, pred):
    return np.sum((true - pred)**2)/len(true)
    
def mae(true, pred):
    return np.sum(np.abs(true - pred))/len(true)
    
# also available in sklearn
# from sklearn.metrics import mean_squared_errorfrom 
# sklearn.metrics import mean_absolute_error

下面让我们观察MAE和RMSE（即MSE的平方根，同MAE在同一量级中）在两个例子中的计算结果。
第一个例子中，预测值和真实值很接近(通过error就可以知道)，而且误差的方差也较小。
第二个例子中，因为存在一个异常点，而导致误差非常大。

MSE对误差取了平方（令e=真实值-预测值），因此若e>1，则MSE会进一步增大误差。
如果数据中存在异常点，那么e值就会很大，那么平方之后就会更大，远大于|e|。
因此，相对于使用MAE计算损失，使用MSE的模型会赋予异常点更大的权重，
这里说的权重指的是异常点的误差在平方之后变得很大，然后在求和之间占的比例很大。

在第二个例子中，用RMSE计算损失的模型会以牺牲其他样本的误差为代价，朝着减小异常点误差的方向更新。然而这就会降低模型的整体性能。

如果训练数据被异常点所污染，那么MAE损失就更好用（比如，在训练数据中存在大量错误的反例和正例标记，但是在测试集中没有这个问题）。
直观上可以这样理解：如果我们最小化MSE来对所有的样本点只给出一个预测值，那么这个值一定是所有目标值的平均值。但如果是最小化MAE，那么这个值，则会是所有样本点目标值的中位数。众所周知，对异常值而言，中位数比均值更加鲁棒，因此MAE对于异常值也比MSE更稳定。

然而MAE存在一个严重的问题（特别是对于神经网络）：更新的梯度始终相同，也就是说，即使对于很小的损失值，梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷，我们可以使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。
而MSE在这种情况下的表现就很好，即便使用固定的学习率也可以有效收敛。
MSE损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。
这使得在训练结束时，使用MSE模型的结果会更精确。

5/根据不同情况选择损失函数

如果异常点代表在商业中很重要的异常情况，并且需要被检测出来，则应选用MSE损失函数。
相反，如果只把异常值当作受损数据，则应选用MAE损失函数，因为异常点对于mae影响比较小。

总而言之，处理异常点时，L1损失函数(mae)更稳定，但它的导数不连续，因此求解效率较低。
L2损失函数（mse）对异常点更敏感，但通过令其导数为0，可以得到更稳定的封闭解。
二者兼有的问题是：在某些情况下，上述两种损失函数都不能满足需求。例如，若数据中90%的样本对应的目标值为150，剩下10%在0到30之间。那么使用MAE作为损失函数的模型可能会忽视10%的异常点，而对所有样本的预测值都为150。这是因为模型会按中位数来预测。
而使用MSE的模型则会给出很多介于0到30的预测值，因为模型会向异常点偏移。
上述两种结果在许多商业场景中都是不可取的。
这些情况下应该怎么办呢？最简单的办法是对目标变量进行变换。而另一种办法则是换一个损失函数。如Huber损失，Log-Cosh损失，分位数损失。
也有些时候可以将利用MAE与MSE训练出的模型进行融合。

6/总结

mae mean absolute error ：
    绝对值误差，对异常点不敏感，鲁棒性更好。
    但是有个问题：梯度始终相同，即使是对于很小的损失值，梯度也会很大，这样不利于模型的迭代。
    对于这个问题，我们可以使用变化的学习率，及当接近最小的损失值的时候，减小学习率。
    
mse:
    对异常点敏感，会放大误差。
    好的地方是：
       梯度是可以变化的，随着损失增大而增大，随着损失区域0时则会减小。
       这样mse在模型训练结束的时候，模型的效果会更好。