[多元统计分析] 11.回归方程和回归系数的显著性检验

十一、回归方程与回归系数的显著性检验

回归方程的显著性检验，检验的是我们建立线性回归方程的合理性，因为我们不能肯定模型是正确的，也就是说我们需要检验$Y$与$x_1,\cdots ,x_m$之间是否存在着线性关系，或者只跟其中的一部分变量存在线性关系。事实上，如果$Y$与$x_1,\cdots ,x_m$之间均无线性相关关系，则${\beta }_i$应均为0，所以我们要检验的假设是
$$H_0:{\beta }_1={\beta }_2=\cdots ={\beta }_m=0.$$

1.平方和分解

为了检验这个假设，我们需要找到一个检验统计量，平方和分解公式就提供了一种求检验统计量的方式。平方和分解公式指的是
$$\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2+\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-\bar{y}{)}^2,$$
这里$\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$，${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}+\cdots +{\hat{\beta }}_m{x}_{im}$，$\hat{\beta }$是$\beta$的最小二乘估计即$\hat{\beta }=(C^{\prime }C{)}^{-1}{C}^{\prime }Y$。

先进行普通的分解，即
∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 = ∑ i = 1 n [ ( y i − y ^ i ) + ( y ^ i − y ˉ ) ] 2 = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 + ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ˉ ) 2 + 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ˉ ) = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 + ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ˉ ) 2 + 2 ∑ i = 1 n e i ( y ^ i − y ˉ ) . \begin{aligned} \sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2=&\sum_{i=1}^n[(y_i-\hat y_i)+(\hat y_i-\bar y)]^2 \\ =&\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2+\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2+2\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\bar y)\\ =&\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2+\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2+2\sum_{i=1}^ne_i(\hat y_i-\bar y). \end{aligned} i=1∑n​(yi​−yˉ​)2===​i=1∑n​[(yi​−y^​i​)+(y^​i​−yˉ​)]2i=1∑n​(yi​−y^​i​)2+

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