第 2 章 - 矩阵

1. 矩阵及其运算

1.1 矩阵定义

上三角与下三角矩阵：

单位矩阵：

1.2 矩阵的加减乘

加法和减法均是同型矩阵对应相加或相减。

矩阵的乘法：

注：

1.3 矩阵的转置

对称矩阵：

2. 矩阵的行列式与逆

2.1矩阵的行列式

奇异化矩阵：（使用矩阵的行列式来定义，必须为方阵）

2.2 矩阵的逆

必须为方阵，且是非奇异（退化）矩阵，矩阵与其逆矩阵的乘积为单位阵，并且逆矩阵是唯一的！

2.3 伴随矩阵求矩阵的逆

伴随矩阵的定义：

伴随矩阵求矩阵的逆矩阵：

式(18)为代数余子式的性质，式(19)根据矩阵的逆矩阵的定义而列出。

矩阵A与逆矩阵行列式的关系：

2.4 可逆矩阵的性质

3. 矩阵的秩

3.1 矩阵的初等变换

3.2 初等矩阵

初等变换的实质：

3.3 矩阵的等价

如果一个矩阵A通过有限次的初等变换变换称B，则A与B等价。

3.4 行阶梯矩阵、行最简矩阵、行阶梯形、标准形

3.5 初等变换求逆矩阵

证明：

3.6 矩阵的秩

矩阵秩的理解http://www.360doc.com/content/18/0208/09/15930282_728535649.shtml

• 「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度（用几维列向量表示空间）
• 「秩」是列空间的维度
• 「秩」是列向量线性无关组的数目

矩阵秩的原始定义：

矩阵秩使用初等变换的求法：

4. 线性方程组有解判定

线性方程组：

增广矩阵：

线性方程组的初等变换（初等变换的实质是高斯消元过程）：

例题：

非齐次线性方程组有解判别法：

齐次线性方程组的有解判别法：

可以这样理解：当齐次线性方程组的系数矩阵列满秩，则必有，那么只存在零解。