数学建模算法与应用》 第 5 章 插值和拟合方法
目录
5.1 插值方法
Matlab代码示例:线性插值
Matlab代码示例:样条插值
5.2 曲线拟合的线性最小二乘法
Matlab代码示例:线性拟合
5.3 最小二乘优化与多项式拟合
Matlab代码示例:多项式拟合
5.4 曲线拟合与函数逼近
Matlab代码示例:指数函数拟合
5.5 黄河小浪底调水调沙中的插值应用
习题 5
总结
插值与拟合是数值分析中的重要工具,用于处理数据之间的关系,通过构建函数来逼近数据点或填补未知值。插值用于通过已知的数据点来估计未采集的值,而拟合则是通过数据找到一个合适的模型来近似表示数据的趋势。插值和拟合方法在工程、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。本章将介绍常见的插值方法和拟合方法,及其在Matlab中的实现。
5.1 插值方法
插值是通过已知数据点来预测未知点的方法。常见的插值方法包括:
-
线性插值:使用两点之间的线性函数来估计中间的值,适用于数据变化较平稳的情况。
-
拉格朗日插值:通过构建拉格朗日多项式对所有数据点进行插值,适用于少量数据点的情况。
-
样条插值:使用低阶多项式(通常为三次样条)来连接每一对相邻点,保证插值函数的光滑性。
Matlab代码示例:线性插值
% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.3, 3.1, 4.5, 3.8, 5.2];
% 要求插值的点
xq = 2.5;
% 使用interp1函数进行线性插值
vq = interp1(x, y, xq, 'linear');
% 输出结果
fprintf('在x = %.1f处的插值结果为:%.2f\n', xq, vq);
在上述代码中,我们使用interp1
函数对数据进行线性插值,求得在x = 2.5
处的插值结果。
Matlab代码示例:样条插值
% 定义已知数据点
x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
y = [0, 0.5, 2, 1.5, 3.5, 3];
% 使用样条插值
xx = linspace(0, 5, 100);
vy = spline(x, y, xx);
% 绘制插值结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, vy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('样条插值示例');
legend('数据点', '样条插值');
在这段代码中,我们使用Matlab
中的spline
函数对数据进行三次样条插值,并绘制了插值曲线,展示了插值后的平滑结果。
5.2 曲线拟合的线性最小二乘法
拟合是通过建立一个函数来近似表示数据的趋势,以便于数据分析和预测。线性最小二乘法是一种常用的拟合方法,通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和来找到最优拟合参数。
Matlab代码示例:线性拟合
% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1.1, 2.0, 2.9, 4.1, 5.0];
% 使用polyfit函数进行线性拟合
p = polyfit(x, y, 1); % 1表示线性拟合
% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy = polyval(p, xx);
% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('线性最小二乘法拟合示例');
legend('数据点', '线性拟合');
在上面的代码中,我们使用polyfit
函数对数据进行了线性拟合,并绘制了拟合曲线。polyfit
的第二个参数1
表示进行一次多项式(线性)的拟合。
5.3 最小二乘优化与多项式拟合
对于多项式拟合,我们可以通过最小二乘优化来拟合更高次的多项式,以得到更好的拟合效果。尽管高次多项式可能更贴合数据,但可能导致过拟合,尤其是在数据中存在噪声的情况下。
Matlab代码示例:多项式拟合
% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 4.5, 3.7, 6.3, 8.1];
% 使用三次多项式进行拟合
p3 = polyfit(x, y, 3);
% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy3 = polyval(p3, xx);
% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy3, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('三次多项式拟合示例');
legend('数据点', '三次多项式拟合');
此代码使用了三次多项式拟合数据,通过polyfit
函数中的参数3
来指定拟合三次多项式,并绘制了拟合曲线。
5.4 曲线拟合与函数逼近
除了多项式拟合,曲线拟合还包括通过不同的函数形式(如指数函数、对数函数)来拟合数据,以找到最合适的模型。例如,在生物学、物理学中,数据可能符合指数增长或衰减模型,通过曲线拟合可以帮助建立合适的数学模型。
Matlab代码示例:指数函数拟合
% 定义已知数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.7, 7.3, 20.1, 54.5, 148.4];
% 定义指数模型并使用非线性拟合
model = @(b, x) b(1) * exp(b(2) * x);
initial_guess = [1, 0.5];
% 使用lsqcurvefit进行拟合
b_est = lsqcurvefit(model, initial_guess, x, y);
% 使用拟合结果预测
xx = linspace(1, 5, 100);
yy = model(b_est, xx);
% 绘制拟合结果
figure;
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('指数函数拟合示例');
legend('数据点', '指数拟合');
在这段代码中,我们使用lsqcurvefit
函数对数据进行了指数函数的拟合,并绘制了拟合曲线。通过指数模型,我们可以更准确地表示具有指数趋势的数据。
5.5 黄河小浪底调水调沙中的插值应用
在实际应用中,插值技术常用于水利工程中,例如黄河小浪底调水调沙过程中,需要根据有限的观测数据对流量和水位进行插值估算,以确保工程的顺利进行。通过插值,可以更好地掌握河流中的水沙关系和动态变化,从而为调度决策提供科学依据。
习题 5
在第五章结束后,提供了一些相关的习题,帮助读者深入理解插值与拟合方法。习题5包括:
-
线性插值:给定一组数据点,使用线性插值法估算特定点的值。
-
多项式拟合:使用三次多项式对一组数据进行拟合,并在Matlab中编程实现。
-
指数函数拟合:使用指数函数对一组呈指数增长的数据进行拟合,编写Matlab代码求解拟合参数。
通过这些习题,读者可以进一步掌握插值与拟合方法在实际中的应用,以及如何利用Matlab工具进行求解。
总结
第五章介绍了插值与拟合的基本概念及其常见方法,包括线性插值、样条插值、线性最小二乘拟合和多项式拟合等。插值与拟合在数据分析和建模中有着重要作用,可以帮助我们更好地理解数据之间的关系。接下来的章节将进一步探索动态规划和多目标优化等高级优化技术,帮助读者更全面地理解数学建模和数值分析的理论与实践。
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面