矩阵的定义和基本运算

前言

矩阵在数学和计算机科学中都有非常重要的作用，这篇博客将会向你讲述矩阵的定义及它的基本运算。

一、定义

由 m × n 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。           

                                                                                                       ——摘自百度百科

上面这段话很好地定义了矩阵（迷茫.jpg），如果要透彻地理解矩阵的定义，不妨去了解一下矩阵的历史。

为了方便，一般我们都把矩阵封装成一个结构体，贴代码：

 1 struct matrix{
 2     int zhen[n][n];//n为矩阵的大小，一般来说，只要不是毒瘤题，直接把数据储存进一个四四方方的矩阵里，是不会爆内存的，也方便我们进行后期的计算
 3     void New(){    //初始化
 4         for(int i=1;i<=n;i++){
 5             for(int j=1;j<=n;j++){
 6                 zhen[i][j]=0;
 7             }
 8         }
 9     }
10 }

二、加（减）法

两个大小为m*n的矩阵A，B相加,则结果矩阵C可以表示为

这个部分挺简单的（所以就不贴代码了），就是对应相加，减法其实可以就是加负数。

三、乘法

设A为p*m大小的矩阵，B为n*p大小的矩阵（注意：如果不满足这个条件，则不能相乘），那么相乘结果C的第（i，j）项=$A_{i,1}*B_{1,i}+A_{i,2}*B_{2,i}+A_{i,3}*B_{3,i}+…+A_{i,p}*B_{p,i}$，可以简写为C=AB。

这样说也许有些令人迷惑，但是我们可以从矩阵最初的使用目的来理解。最初，矩阵是用来解线性方程组的。如下面这个方程组：

可以表示为:

你看，是不是9和x相乘，2和y相相乘，相加等于15，然后，是不是，是不是就变成了方程组中的第一个式子！同样的，下面的式子也是以此类推。

那么接下来就贴代码吧：

matrix mul(matrix a,matrix b){//其实也可以重载运算符的
    matrix ans;
    ans.New(0);//别忘记初始化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=n;k++){
                ans.zhen[i][j]+=(a.zhen[i][k]*b.zhen[k][j]);//根据定义进行计算
            }
        }
    }
    return ans;
}

乘法是矩阵中最重要的基本运算，许多更高级的对矩阵的应用，几乎都是以矩阵乘法为基础的。

矩阵乘法满足乘法结合律，即$(AB)C=A(BC)$。

证明：

设(AB)C=X，A(BC)=Y，B为m*n大小的矩阵。

$X_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} (AB)_{i,k}C_{k,j}=\sum_{l=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$　

$Y_{i,j}=\sum_{l=1}^{m}A_{i,l}(BC)_{l,j}=\sum_{l=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}A_{i,l}B_{l,k}C_{k,j}$

所以，$X_{i,j}=Y_{i,j}$

证毕

要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，所以在做题时，要特别注意相乘的顺序。至于证伪，反例其实挺好找的，就不列举出来了。

后言

矩阵作为一种强有力的工具，这篇文章仅仅介绍了基本使用方法，关于矩阵的具体运用，我会在另写一篇博文。

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