线性代数 - 空间、欧几里得空间和向量空间的定义

最编程 2024-06-17 07:01:46

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1、空间的本质

什么是空间，空间的本质是一个集合，集合里面包含元素。这个空间的含义与我们生活中描述的空间含义是一致的，如我们说"宇宙空间"就是因为宇宙是一个大的集合，里面包括有恒星，行星等等。

线性代数中接触的有如二维空间，三维空间， $n$ 维空间等空间的本质也是一个集合，这种叫做几维几维的空间统一称为 $\color {darkred} {\small \textbf{ 欧几里得空间}}$ 。在基础的几何学里，就是在欧几里得空间处理诸如点，线，面这样的几何元素之间的关系。

2、欧几里得空间

$\color {darkred} {\large \textbf{ 欧几里得空间}}$ 本质是有序实数( $\color {#75aadb} {\small 有理数和无理数总称为实数}$ )元组的集合，其中有序实数是指按照一定顺序排列的实数表示一定的意义，改变它们的位置，则表示的意义不同。如一个包含两个元素的有序元组 $(6,66)$ 属于二维欧几里得空间。它和点 $(66,6)$ 在二维欧几里得空间里是不同的点。一个包含三个元素的有序元组 $(3.14,0,\sqrt {2})$ 属于三维欧几里得空间。

二维欧几里得空间 $R^{2}$
也叫二维空间，通常在数学表达法中二维欧几里得空间表示成 $R^{2}$ ，其中 $R$ 指的是实数集， $R^{2}$ 表示这个空间中的每个有序实数元组中包含有两个元素。
三维欧几里得空间 $R^{3}$
$n$ 维欧几里得空间 $R^{n}$

从有序实数元组集合来看，欧几里得空间可以理解为一个点集，每个点的实质就是一个有序的实数元组。
从向量视角来看，欧几里得空间就是一个起点为原点的向量集合；在欧几里得空间，一个点其实可以看成一个向量。

3、向量空间

在线性代数领域，我们不讨论其它空间(如宇宙空间，一个房子所形成的空间)，而是研究一种特殊的空间，就是欧几里得空间(有序实数元组集合 $R^{n}$ )，更进一步欧几里得空间不仅仅是一个空间(空间作为一个集合，它可能是杂乱无章的，也可以是有序的，这不方便进行研究)，同时还是一个向量空间(一种具有特殊性质的空间)。

向量空间:空间中的元素是“向量”。其中“向量”这个名词的定义是很广泛的，不仅仅指之前学习的“起点在原点，并且有方向”这种概念的向量(这种向量是定义在欧几里得空间里的描述)。

“向量”的具体定义，或者说一个元素具体满足哪些性质可以称之为“向量”？数学家给出的定义是对于向量来说必须定义两种运算：①加法运算 $(a,b) + (c,d) = (a+b,c+d)$ ，②数量乘法 $k\cdot (v_{1},v_{2}) = (k\cdot v_{1},k\cdot v_{2})$ 。

$\textbf {“向量”必须满足的十条性质}$
$\color {red} {1)、核心性质}$
对于一个向量空间 $V$
$\ \ \$ $\cdot$ 如果 $\vec u$ 和 $\vec v$ 都属于 $V$ ，则 $\vec u + \vec v$ 属于 $V$ ；
$\ \ \$ $\cdot$ 如果 $\vec u$ 属于 $V$ ， $k$ 是一个实数，则 $k \cdot \vec u$ 属于 $V$ ；
以上这两条性质是十条核心性质的关键性质，在数学上，被称为 $\color {red} {\small 封闭性(closure)}$ ，表示当某些元素已经存在于一个空间中，那么进行相应的数学运算后，运算的结果还需要在这个空间中，所进行的所有运算都无法脱离这个空间，这就是封闭。在数学体系中，是存在一些运算不满足封闭性的。比如对于一个整数集合，在该集合中，加法是满足封闭性的，一个整数加上另一个整数还是一个整数，但是对除法是不封闭的，像 $2 \div 3$ 的运算结果 $\frac {2}{3}$ 就不是一个整数，这个结果脱离了整数集。在线性代数领域所讨论的向量空间，必须要求向量的加法和数量乘法这两个基本运算满足封闭性。
$\color {red} {2)、其它性质}$
$\ \ \$ $\cdot$ 满足加法交换律 $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$ ;
$\ \ \$ $\cdot$ 满足加法结合律 $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec v + (\vec u + \vec w)$ ;
$\ \ \$ $\cdot$ 向量空间一定存在零向量 $O$ ，使得 $\vec u + O = \vec u$ ;
$\ \ \$ $\cdot$ 对于向量空间的每一个 $\vec u$ 存在 $- \vec u$ ，使得 $\vec u + (\vec -u) = O$ ;
$\ \ \$ $\cdot$ 数量乘满足结合律: $(k\cdot c) \cdot \vec u = k \cdot (c \cdot \vec u)$ ；
$\ \ \$ $\cdot$ 数量乘满足分配律: $k\cdot (\vec u + \vec v) = k \cdot \vec u + k \cdot \vec v)$ ；
$\ \ \$ $\cdot$ 数量乘满足分配律: $(k + c) \cdot \vec u= k \cdot \vec u + c \cdot \vec u$ ；
$\ \ \$ $\cdot$ 数量乘满足分配律: $k\cdot (\vec u + \vec v) = k \cdot \vec u + k \cdot \vec v)$ ；
$\ \ \$ $\cdot$ 向量与常数1的点乘满足 $1 \cdot \vec u = \vec u$