[控制] 《自动控制原理》，胡寿松著 - 第 9 章 - 线性系统的状态空间分析与合成
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【控制】第九章-线性系统的状态空间描述
- 9.1 线性系统的状态空间描述
- 1. 系统数学描述的两种基本类型
- 2. 系统状态空间描述常用的基本概念
- 3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
- （1）根据系统机理建立状态空间表达式
- （2）由系统微分方程建立状态空间表达式
- 1）系统输入量中不含导数项
- 2）系统输入量中含有导数项
- （3）由系统传递函数建立状态空间表达式
- 1） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 串联分解的情况
- 2） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 只含单实极点时的情况
- 2） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 含重实极点时的情况
- 4. 线性定常连续系统状态方程的解
- （1）齐次状态方程的解
- 1）幂级数法
- 2）拉普拉斯变换法
- （2）状态转移矩阵的运算性质
- （3）非齐次状态方程的解
- 1）积分法
- 2）拉普拉斯变换法
- 5. 系统的传递函数矩阵
- （1）定义及表达式
- （2）开环与闭环传递矩阵
- （3）解耦系统的传递矩阵
- 1）用串联补偿器 G c ( s ) G_c(s) Gc(s) 实现解耦
- 2）用前馈补偿器 G d ( s ) G_d(s) Gd(s) 实现解耦
- 6. 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
- 9.2 线性系统的可控性与可观测性
- 9.3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
- 9.4 李亚普诺夫稳定性分析
- 9.5 控制系统状态空间设计
P9 线性系统状态空间分析-《Matlab/Simulink与控制系统仿真》程序指令总结
9.1 线性系统的状态空间描述
1. 系统数学描述的两种基本类型
2. 系统状态空间描述常用的基本概念
线性系统的状态空间表达式：
若线性系统描述系统状态量与输入量之间关系的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，而描述输出量与状态量和输入量之间关系的输出方程是向量代数方程，则其结合称为线性系统状态空间表达式，又叫动态方程，其连续形式为：
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
+
B
(
t
)
u
(
t
)
y
(
t
)
=
C
(
t
)
x
(
t
)
+
D
(
t
)
u
(
t
)
(9-1)
\begin{aligned} \dot{x}(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)\\ y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) \end{aligned}\tag{9-1}
x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)(9-1)
对于线性离散时间系统，由于在实践中常取
t
k
=
k
T
t_k = kT
tk=kT（
T
T
T 为采样周期），其状态空间表达式的一般形式可写为
x
(
k
+
1
)
=
G
(
k
)
x
(
k
)
+
H
(
k
)
u
(
k
)
y
(
k
)
=
C
(
k
)
x
(
k
)
+
D
(
k
)
u
(
k
)
(9-2)
\begin{aligned} {x}(k+1) = G(k)x(k) +H(k)u(k)\\ y(k) = C(k)x(k) + D(k)u(k) \end{aligned}\tag{9-2}
x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)(9-2)
3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
（1）根据系统机理建立状态空间表达式
（2）由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
2）系统输入量中含有导数项
（3）由系统传递函数建立状态空间表达式
1） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 串联分解的情况
2） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 只含单实极点时的情况
2） N ( s ) D ( s ) \frac{N(s)}{D(s)} D(s)N(s) 含重实极点时的情况
4. 线性定常连续系统状态方程的解
（1）齐次状态方程的解
1）幂级数法
2）拉普拉斯变换法
（2）状态转移矩阵的运算性质
（3）非齐次状态方程的解
状态方程为
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
(9-42)
\dot{x}(t)=Ax(t) + Bu(t)\tag{9-42}
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)(9-42)
1）积分法
2）拉普拉斯变换法
x ( t ) = Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t Φ ( τ ) B u ( t − τ ) d τ (9-45) x(t) = \Phi(t)x(0) + \int_0^t \Phi(\tau)Bu(t-\tau)d\tau \tag{9-45} x(t)=Φ(t)x(0)+∫0tΦ(τ)Bu(t−τ)dτ(9-45)
5. 系统的传递函数矩阵
（1）定义及表达式
初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。
设系统的动态方程为
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
+
B
u
(
t
)
y
(
t
)
=
C
x
(
t
)
+
D
u
(
t
)
(9-46)
\begin{aligned} \dot{x}(t) = Ax(t) +Bu(t)\\ y(t) = Cx(t) + Du(t) \end{aligned}\tag{9-46}
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)(9-46)
令初始条件为零，进行拉氏变换有
s
X
(
s
)
=
A
X
(
s
)
+
B
U
(
s
)
⇒
X
(
s
)
=
(
s
I
−
A
)
−
1
B
U
(
s
)
Y
(
s
)
=
C
X
(
s
)
+
D
U
(
s
)
⇒
Y
(
s
)
=
[
C
(
s
I
−
A
)
−
1
B
+
D
]
U
(
s
)
=
G
(
s
)
U
(
s
)
(9-47)
\begin{aligned} sX(s) = AX(s) + BU(s)&\Rightarrow \\X(s)&=(sI-A)^{-1}BU(s)\\ Y(s) = CX(s) + DU(s)&\Rightarrow \\Y(s) &= [C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)=G(s)U(s) \end{aligned}\tag{9-47}
sX(s)=AX(s)+BU(s)X(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)Y(s)⇒=(sI−A)−1BU(s)⇒=[C(sI−A)−1B+D]U(s)=G(s)U(s)(9-47)
系统的传递函数矩阵表达式为
G
(
s
)
=
C
(
s
I
−
A
)
−
1
B
+
D
(9-47)
G(s) = C(sI-A)^{-1}B+D\tag{9-47}
G(s)=C(sI−A)−1B+D(9-47)
（2）开环与闭环传递矩阵
（3）解耦系统的传递矩阵
1）用串联补偿器 G c ( s ) G_c(s) Gc(s) 实现解耦
2）用前馈补偿器 G d ( s ) G_d(s) Gd(s) 实现解耦
6. 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
9.2 线性系统的可控性与可观测性
9.3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
9.4 李亚普诺夫稳定性分析
【控制】李亚普诺夫稳定性分析