代数学笔记10.1: 关于对称多项式的理解和三次预解式的推导

写在前面

之前学习的时候天真的以为对称多项式求解初等对称多项式表示是直接套用公式就行的, 也没有深入理解对称多项式基本定理的推导过程.

直接拿来主义倒是能够解决一部分问题, 但是还是会有点小问题无法处理, 今天拿起高等代数课本重新看了看, 才算真正掌握了对称多项式的初等对称多项式表示方法, 以及用来计算推导四次方程的三次预解式(之前的blog中采用了CAS计算, 方便但是不知其所以然, 苦恼)

老师上课时候讲解了一些内容, 但是有些跳跃, 还是要自己细细品味才能悟出其中的道理.

对称多项式

$n$元多项式$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$, 如果对于任意的$i,j,(1\le i<j\le n)$, 都有
$$f(x_1,\cdots ,x_i,\cdots ,x_j,\cdots ,x_n)=f(x_1,\cdots ,x_j,\cdots ,x_i,\cdots ,x_n).$$
则称该多项式为对称多项式.

对称多项式基本定理

对于任意一个$n$元对称多项式$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$都有一个$n$元多项式$\phi (y_1,y_2,\cdots ,y_n)$使得
$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\phi ({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n).$$
其中${\sigma }_i$为初等对称多项式, 如下表示
$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=x_1+x_2+\cdots +x_n,\\ {\sigma }_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n,\\ \cdots \\ {\sigma }_n=x_1{x}_2\cdots x_n.\end{array}$$

证明(将对称多项式表示为初等对称多项式的多项式的方法)

设$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$(按字典序排列的)首项为
$$a{x}_1^{l_1}{x}_2^{l_2}\cdots x_n^{l_n},a\ne 0.\text{\hspace{1em}(1)}$$
$(1)$式作为$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$的首项, 一定有$l_i\ge l_2\ge \cdots \ge l_n\ge 0)$.

不然, 设有