GAMES101 - 现代计算机图形学入门：Lec02 向量和线性代数

大家好，我是曹骏。因为本人对计算机图形学、webGPU等非常感兴趣，将会推出闫令琪博士的《GAMES101：现代计算机图形学入门》课程译文，希望能帮助到更多的同学理解课程，爱上图形学这一浪漫的学科。

课程链接如下

www.bilibili.com/video/BV1X7…

0 图形学依赖于... Graphics’ Dependencies

• 基础数学

• • 线性代数 linear algebra
  • 微积分 calculus
  • 统计学 statistics

• 基础物理

• • 光学 Optics
  • 力学 Mechanics

• 其他

• • 信号处理 signal processing

  • 数值分析 numerical analysis

  • 一点点的美学 A bit of aesthetics

1 向量 Vectors

1.1 向量的归一化 Vector Normalization

1.2 向量的加法 Vector Addition

• 几何理解 Geometrically

• • 平行四边形法则合三角形法则 Parallelogram law & Triangle law

• 代数 algebraically

• • 各坐标相加 Simply add coordinates

1.3 向量的点乘 Dot(scalar) Product

1.3.1 定义与用法

1.3.2性质 Properties

1.3.3笛卡尔坐标系下的点积 Dot Product in Cartesian Coordinates

• In 2D

• In 3D

1.3.4 图形学中的点积 Dot Product for Graphics

• 求两个向量之间的角度（例如光源在表面之间角度的余弦）Find angle between two vectors (e.g. cosine of angle between light source and surface)
• 计算一个向量在另一个向量上的投影 Finding projection of one vector on another

• 测量两个方向有多接近 Measure how close two directions are
• 分解向量 Decompose a vector

• 判断朝向 Determine forward / backward

• • 基于右手螺旋定则，四指从a向量选择到c向量拇指朝外，可以判c向量在a向量的左边
  • 基于右手螺旋定则，四指从a向量选择到b向量拇指朝内，可以判c向量在a向量的右边

1.4 向量的叉乘 Cross(vector) Product

1.4.1 定义与用法

• 叉乘结果是一个向量，与两个初始向量垂直 Cross product is orthogonal to two initial vectors

• 叉乘的结果由右手定则确定 Direction determined by right-hand rule

• 用于构建坐标系 Useful in constructing coordinate systems

• 叉乘结果的模在大小上与组成两个向量组成三角形面积相等

1.4.2 性质 Properties

• 没有交换律和结合率

• 向量与自身的叉乘为0向量（注意不是数值0）

• 有结合律

没有结合率的原因可以参考：zhidao.baidu.com/question/15…

1.4.3 笛卡尔坐标系下的叉乘 Cross Product: Cartesian Formula

• 判断点在三角形内部外部时看正负即看z坐标的正负

1.4.4 图形学中的叉乘 Cross Product in Graphics

• 判定左和右

• • 如下图，在右手坐标系中，a向量叉乘b向量结果为正，则b在a的左侧

• 判断内和外

• • 如下图，按顺序叉乘三次结果正负相同则在内部，否则在外部

1.5 正交坐标系 Orthonormal Bases / Coordinate Frames

如果有三个向量满足

• 当三个向量互相垂直时，符合
• 公式中的= ，而v向量的模为 1，因此可以得到p向量在v向量方向上为

更易于用坐标系表达一个向量

2 矩阵 Matrix

在图形学中，普遍用于表示变换
In Graphics, pervasively used to represent transformations

2.1 什么是矩阵 What is a matrix

• 一个数字阵列 Array of numbers (m × n = m rows, n columns)

• 与标量的加法和乘法运算为每个元素单独运算 Addition and multiplication by a scalar are trivial:
  element by element

2.2 矩阵与矩阵的乘积 Matrix-Matrix Multiplication

• A的列数必须等于B的行数才能进行乘法运算 The number of columns in A must equal to the number of rows in B

• 乘积中元素(i,j)是A中第i行和B中第j列的点积结果

2.3 矩阵的性质 Properties

• 没有交换律  Non-commutative(AB and BA are different in general)

• 有结合律和分配律 Associative and distributive

2.4 矩阵与向量的乘积 Matrix-Vector Multiplication

• 将向量视为列矩阵 Treat vector as a column matrix (m×1)

• 是变换的核心 Key for transforming points

2.5 矩阵的转置 Transpose of a Matrix

• 将矩阵的行和列互换 Switch rows and columns (ij -> ji)

• 转置的性质 Property

2.6 单位矩阵和逆矩阵 Identity Matrix and Inverses

• 单位矩阵 Identity Matrix

• • 单位矩阵的对角线都为1

• 逆矩阵 Inverses

• • 两个矩阵乘积为单位矩阵，则两个矩阵互逆

• • 逆矩阵的性质

3 矩阵形式的向量乘积 Vector multiplication in Matrix form

3.1 点乘 Dot product

3.2 叉乘 Cross product