四元插值、二元四元插值、DQB/DLB

一、四元数与对偶四元数（双四元数）

传送门：四元数，对偶四元数，三维旋转，平移

二、四元数插值

四元数插值 与 向量插值（传送门：[插值算法 - Lerp, NLerp, SLerp]）非常类似，
只需要把其中向量换成四元数即可：
$$Lerp({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2;t)=(1-t){\mathbf{q}}_1+t{\mathbf{q}}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$NLerp({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2;t)=\frac{(1-t){\mathbf{q}}_1+t{\mathbf{q}}_2}{\Vert (1-t){\mathbf{q}}_1+t{\mathbf{q}}_2\Vert }\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$SLerp({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2;t)=\frac{\sin ((1-t)\theta )}{\sin \theta }{\mathbf{q}}_1+\frac{\sin (t\theta )}{\sin \theta }{\mathbf{q}}_2=({\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }{)}^t{\mathbf{q}}_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

这里主要说一下 $(3)$ 式：

式中，$\theta$ 是 ${\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2$ 之间的夹角，定义为：$\theta =\arccos ({\mathbf{q}}_1\cdot {\mathbf{q}}_2)$

不难看出，
在 ${\mathbf{q}}_1$ 与 ${\mathbf{q}}_2$ 之间插值 $\iff$ 在 $1$ 与 ${\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }$ 之间插值
即 ${\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }$ 表示了从 ${\mathbf{q}}_1$ 到 ${\mathbf{q}}_2$ 的变化
显然 ${\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }$ 是单位四元数，那么 ${\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }$ 可以表示为：
$${\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }=\cos \frac{\theta }{2}+\mathbf{u}\sin \frac{\theta }{2}$$

则
$$({\mathbf{q}}_2{\mathbf{q}}_1^{\ast }{)}^t=\cos (\frac{t\theta }{2})+\mathbf{u}\sin (\frac{t\theta }{2})$$

可以看出 四元数的 Slerp 是角速度匀速的。

三、对偶四元数插值

3.1 沙勒定理(Chasles Theorem)

沙勒定理是欧拉旋转定理的一个推论。
根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。
因此，刚体运动可分为平移运动与旋转运动。

而这个移动可以合成为 通过绕某根轴的螺旋运动。

3.2 螺旋运动(Screw motion) 与 ScLerp

沙勒定理描述的螺旋运动 (Screw) 如下：

物体经过 $\stackrel{⌢}{\mathrm{OA}}$，$A{O}^{\prime }$ $\iff$ 物体直接经过 $\stackrel{⌢}{O{O}^{\prime }}$

这条浅绿色的螺旋(Screw)路径可以使用对偶四元数来描述${}^{[附B.1]}$：

q ^ = cos ⁡ θ