拉格朗日插值法（理论详解） - I. 导言

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫.拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系和规律，而不少函数都只能通过实验或观测来了解。如对实验中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日多项式。

数学上来讲，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。

对于给定的$n+1$个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots ,(x_n,y_n)$，对应于它们的次数都不超过$n$的拉格朗日多项式$L$只有一个。如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与$L$相差$\lambda (x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$的多项式都满足条件。例如：

已知平面上四个点：（-9，5）、（-4，2）、（-1，-2）、（7，9），拉格朗日多项式$L(x)$（黑色）穿过所有点。而每个基本多项式$y_0{l}_0(x),y_1{l}_1(x),y_2{l}_2(x),y_3{l}_3(x)$各穿过对应的一点，并在其他的三个点的$x$值上取0。