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[高级数学] 第 1 章 函数与极限 - 第 6 节 极限存在标准 两个重要极限

最编程 2024-06-30 21:50:32
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  • 准则 I I I 如果数列 { x n } , { y n } \{x_n\},\{y_n\} {xn},{yn} { z n } \{z_n\} {zn}满足下列条件
    ( 1 ) (1) (1)从某项起,即 ∃ n 0 ∈ N + , \exist n_0\in N_+, n0N+, n > n 0 n>n_0 n>n0时,有 y n ≤ x n ≤ z n y_n\le x_n\le z_n ynxnzn
    ( 2 ) (2) (2) lim ⁡ n → ∞ y n = a , lim ⁡ n → ∞ z n = a \lim_{n\rightarrow \infin}y_n=a,\lim_{n\rightarrow \infin}z_n=a nlimyn=a,nlimzn=a那么数列 { x n } \{x_n\} {xn}的极限存在且为 a a a
  • 准则 I ′ I' I 如果
    ( 1 ) (1) (1) x ∈ U ∘ ( x 0 , r ) x\in U^{\circ}(x_0,r) xU(x0,r)(或 ∣ x ∣ > M |x|>M x>M)时, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\le f(x)\le h(x) g(x)f(x)h(x)
    ( 2 ) (2) (2) lim ⁡ g ( x ) = A , lim ⁡ h ( x ) = A , \lim g(x)=A,\lim h(x)=A, limg(x)=A,limh(x)=A,
    那么 lim ⁡ f ( x ) \lim f(x) limf(x)存在且等于 A A A
  • 准则 I I I和准则 I ′ I' I称为夹逼准则
  • lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x = 1 \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1 x0limxsin(x)=1
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