机器学习｜数学基础】机器学习数学线性代数丛书（19）：二次型及其标准形式

小知识，大挑战！本文正在参与“程序员必备小知识”创作活动。

前言

Hello！小伙伴！

非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～

 

自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

5.5 二次型及其标准形

定义8：二次型

含有$n$个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数

$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+....+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+....+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$

称为二次型

$f$中的每一项的次数都是2称为二次齐次函数 比如$x_1^2,x_1x_2....$

---

取$a_{ji}=a_{ij}$，则有

$2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i$

所以

$f=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+a_{2n}x_2x_n+...+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+....+a_{nn}x_n^2=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j$

---

对于二次型，寻求可逆的线性变换