容差原则 - 数学知识 (c++)

容斥原理

可以描述如下：

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

用维恩图来表示集合A、B和C：

经典例题

AcWing 890. 能被整除的数
给定一个整数n和m个不同的质数p1,p2,…,pm。

请你求出1~n中能被p1,p2,…,pm中的至少一个数整除的整数有多少个。

输入格式
第一行包含整数n和m。

第二行包含m个质数。

输出格式
输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。

数据范围
1≤m≤16,
1≤n,pi≤10⁹
输入样例：

10 2
2 3

输出样例：

7

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int p[N];


int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];

    int res = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ ) //  i<1<<m   组合数  2^m-1 
    {
        int t = 1, s = 0;//s用来记录这种方案，选择的数的个数，从而判断应该加还是减；t存累乘的结果
        for (int j = 0; j < m; j ++ )//遍历二进制的每一位
            if (i >> j & 1)//判断二进制第j位是否存在
            {
                if ((LL)t * p[j] > n)//这里要加long 否则会溢出
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t *= p[j];
                s ++ ;
            }//为这种方案求出一个总乘积t

        if (t != -1)
        {
            if (s % 2) res += n / t;//奇数个数，说明要加
            else res -= n / t;//偶数个数，说明要减
        }
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}