[第 237 期 欧拉公式之美

1 Euler 公式 eiπ+1=0

(1) 它把

a.  e: 自然对数的底 ≈2.718281828459 (数分)

b.  i: 虚数单位 =√−1 (复变)

c.  π: 圆周率 ≈3.1415926 (小学就学了)

d.  1: 自然数的单位 (道生一,一生二,二生三,三生万物---老子关于万物的起源)

e.  0: 人类最伟大的发现之一 (可以考虑平衡, 欠费等问题了) 这些数学中最重要的一些常数联系了起来.

(2) 它把现代数学的三大分支

a.  分析 (Analysis)  (e,i)

b.  代数 (Algebra)  (1,0)

c.  几何 (Geometry)  (π) 联系了起来.

 

 

 

2. \beex \bea e&=\lim_{n\to\infty}\sex{1+\frac{1}{n}}^n =\lim_{n\to\infty}\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+1}\\ &\quad\sex{\sex{1+\frac{1}{n}}^n\nearrow e,\quad \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+1}\searrow e}\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\ve_n.  \eea \eeex

于是我们可以用 \bex1+1+12!+⋯+1n!\eex 来近似计算 e, 而产生的误差 \ven 满足 练习::  \bex1(n+1)!<\ven<1n!n.\eex 提示::  估计余项 \bex1(n+1)!+1(n+2)!+⋯.\eex 数 e 是 Euler 于 1728 年引入作为自然对数的底.

(1) e 是最``自然''的对数的底. Why? \bex(lnx)′=1x,(ex)′=ex.\eex

(2) 说到对数, 在计算中重要, 把 ``乘法运算'' 变换成 ``加法运算''. 思考::  有一种变换把 ``求导运算'' 变换成 ``乘法运算''. 知道是什么吗? 提示::  利用分布积分可以证明 Fourier 变换 \bex\scrF\sexf(ξ)=∫f(x)e−ix⋅ξ\rdx\eex

适合 \bex\scrF\sex\pf\px1=iξ1\scrF(f).\eex

(3) e 是无理数, 也是超越数 (1873 年, Hermite). 开放性问题 (Open Problem)::  e+π 是无理数么? 定义::  一个数称为代数数, 如果它是某个整系数多项式的根. 不是代数数的数称为超越数.

 

 

 

3. i: 虚数单位

(1) 意大利数学家 Cardano 在解三次方程的时候引入的. 不过那时候还不知道 √−1 的含义是什么, 纯粹是一种形式记号.

(2) √−1 的几何意义 (画图: √−1⋅√−1=−1---乘以 −1 相当于旋转 180∘, 而乘以 √−1 相当于旋转 90∘, 我们从``一维直线''到了``二维平面'').

(3) 把 i=√−1 引入后, 我们进入了二维世界. 可以作加法和乘法, 且都有逆运算---减法和除法. 如此构成一个 ``域 (Field)''. 注记::  到此, 绝大部分数学家就够用了. 当然有些代数学家可能还不满足.

(4) 二维很重要! 殊不知数学分析用了一册讲一元, 一册讲多元. 而复变函数整一本讲二元! 说到 ``2'', 我们看看它的重要性 (不记得参考文献了, 以前看过一点):

a.  2: 最小的素数, 唯一的偶素数.

b.  \dpsF=GmMr2, 万有引力.

c.  流体力学方程组 \bex{\ball\pt\bbu+(\bbu⋅\n)\bbu−\lap\bbu+\np=0,(动量守恒)\n⋅\bbu=0,(能量守恒)\ea\eex

在 2 维的时候解是整体存在的. 这里, \bbu=(u1,u2) 是流体的速度, p 是压力, \bbu⋅\n 是 \bbu 与 \n 的``内积''. 在 3 维的时候是 ``千禧年大奖难题''.

d.  E=mc2.

 

 

 

4. π: 圆周率---单位圆的半周长.

(1) 远古时代: 古希腊 Archimedes 和古中国刘徽有 Archimedes- 刘徽算法---近似计算 π. 具体如下: 先算出单位圆的外切和内接正 6 边形的半周长, 为 a1=2√3, b1=3. 然后不断平分, 可以得到外切和内接正 2n⋅3 边形的半周长, 分别为 \bexan+1=2anbnan+bn,bn+1=√an+1bn.\eex

练习::  利用单调有界定理证明 \sedan、\sedbn 收敛; 利用上述几何意义证明 \dpslimn→∞an=limn→∞bn=π. 注记::  这个算法是一阶的 (数值分析), \bex|an+1−π|≤C|an−π|.\eex

(2) Newton 利用他自己分明的二项式定理和微积分用``分析''的方法给出了 π 的更好的估计: \bex∫140√x−x2\rdx+12⋅14⋅√34=π3.\eex

(3) 1976 年, Salami 和 Brent 给出了如下算法: \bexa0=1,b0=s0=1√2;\eex

\bexan=an−1+bn−12,bn=√an−1bn−1;\eex