拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的常见结论和经典公式
拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理展示与证明
- 一、定义与概念
- 1.1 拉普拉斯变换
- 1.2 拉普拉斯逆变换
- 二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理
- 2.1 常用结论
- 2.2 经典定理
- 三、常用结论证明
- 3.1 Unit impluse function
- 3.2 Unit step function
- 3.3 Ramp function
- 3.4 Exponential function
- 3.5 Sine function
- 3.6 Cosine function
- 3.7 Power function
- 四、经典定理证明
- 4.1 线性性质
- 4.2 相似性质
- 4.3 微分之导数的像函数
- 4.4 微分之像函数的导数
- 4.5 积分的像函数
- 4.6 像函数的积分
- 4.7 延迟性质
- 4.8 位移性质
- 4.9 终值定理
- 4.10 初值定理
- 参考文献
本文适合于工科课程不过于要求过程严谨、侧重应用的特点，且拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换适用于工科课程中的
信号与系统、复变函数与积分变换、电路理论、自动控制原理以及计算机控制原理的基础部分，因此本文提供拉氏变换与拉氏逆变换的重要结论与定理，同时，也为对相关证明感兴趣的同学提供了结论与定理的证明，如果你觉得本文对你有所帮助，可收藏本文，但转载不被允许
一、定义与概念
1.1 拉普拉斯变换
设函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)是定义在
[
0
,
+
∞
)
[0,+\infty)
[0,+∞)上的实值函数，如果对于复参数
s
=
β
+
j
w
s=\beta+\text{j}w
s=β+jw，积分
F
(
s
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
(1)
F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\tag{1}
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(1)
在复平面
s
s
s的某一个区域内收敛，则称
F
(
s
)
F(s)
F(s)为
f
(
t
)
f(t)
f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为
F
(
s
)
=
L
[
f
(
t
)
]
F(s)=\mathscr{L}[f(t)]
F(s)=L[f(t)]，该函数被称为像函数。
1.2 拉普拉斯逆变换
已知函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)经过拉普拉斯变换后得到
F
(
s
)
F(s)
F(s)，则原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)可由
F
(
s
)
F(s)
F(s)经过拉普拉斯逆变换得到:
f
(
t
)
=
L
−
1
[
F
(
s
)
]
=
1
2
π
j
∫
β
−
j
∞
β
+
j
∞
F
(
s
)
e
s
t
d
s
(2)
f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}\,ds\tag{2}
f(t)=L−1[F(s)]=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds(2)
记
f
(
t
)
=
L
−
1
[
F
(
s
)
]
f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]
f(t)=L−1[F(s)]，
f
(
t
)
f(t)
f(t)被称为原像函数，此过程称为拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）。
二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理
2.1 常用结论
| No. | Name of items | f ( t ) f(t) f(t) | F ( s ) \textit{F}(s) F(s) |
|---|---|---|---|
| 1 | unit impluse | δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 |
| 2 | unit step | u ( t ) u(t) u(t) | 1 s \frac{1}{s} s1 |
| 3 | ramp | tu ( t ) \textit{tu}(t) tu(t) | 1 s 2 \frac{1}{s^{2}} s21 |
| 4 | exponential | e at u ( t ) e^{\textit{at}}\textit{u}(t) eatu(t) | 1 s − a \frac{1}{s-a} s−a1 |
| 5 | sine | sin w t \sin{wt} sinwt | w s 2 + w 2 \frac{w}{s^{2}+w^{2}} s2+w2w |
| 6 | cosine | cos w t \cos{wt} coswt | s s 2 + w 2 \frac{s}{s^{2}+w^{2}} s2+w2s |
| 7 | power | t m t^m tm | m ! s m + 1 \frac{m!}{s^{m+1}} sm+1m! |
2.2 经典定理
| No. | 定理&性质名称 | 表达式 |
|---|---|---|
| 1 | 线性性质 | L [ α f ( t ) + β g ( t ) ] = α F ( s ) + β G ( s ) \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s) L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)，其中 α \alpha α和 β \beta β为常数 |
| 2 | 相似性质 | L [ f ( a t ) ] = 1 a F ( s a ) \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) L[f(at)]=a1F(as)，其中 a a a为大于0的常数 |
| 3 | 微分之导数的像函数 | L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) \mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0) L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0) |
| 4 | 微分之像函数的导数 | F ( n ) ( s ) = ( − 1 ) n L [ t n f ( t ) ] {F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)] F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)] |
| 5 | 积分的像函数 | L [ ∫ 0 t |