6_6阶群的非琐子群。集合上的群作用和 Sylow 定理

前言

1. 本章介绍群在集合上的作用和Sylow定理等内容。阅读本章前，请仔细阅读2.5节有关共轭、类数等式、中心化子、正规化子的内容。在必要时，正文中会重新阐述这些定义。
2. Sylow定理又称为抽象代数中的驴桥定理。“驴桥”一词指的是驴子第一次过桥时害怕的情形，起源于拉丁文“Pons asinorum”，比喻一门学科中新手入门时遇到的第一个可能影响学习进程的难题。在其他数学分支中，也有相应的驴桥定理。
3. 在本章的最后，会对1到15阶群的结构进行汇总。至此，群论的入门知识就结束了，本篇及之前的文章也是本科低年级抽象代数群论部分的全部内容。

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6.1 群在集合上的作用

群在集合上的作用又称为群作用，群作用通常理解为一个群在一个集合上定义一个运算。

群在集合上的作用
设

是群，

是集合，定义一个映射

使得

，且满足以下两个条件：

（1）

（2）

称

是

在

上的一个

群作用（group action），此时

称为

-集。

注意，

共轭子集
设

是群，

是

的子集合，如果存在

使得

则称

与

共轭。

这个概念已经在2.5节中提到了。对于共轭，写成

共轭作用
设

是群，

是

的所有子集的集合，对于

，设

使得

，其中

，可以得到

是一个

-集，这个作用的核是

的正规化子

。

下面是关于群作用中同态的概念。

群作用中的同态
设

是群，

是两个

-集，

对于

有

，就称这个映射是一个同态。

注意这里同态与群同态的区别。群同态是保持乘法，而群作用中的同态是保持作用。

轨道
设

是群，

是

-集，对于

，定义

为

所在的

轨道（orbit）。等价地，集合

在上述规定的等价关系下的等价类就是

所在的轨道

，于是有

由于等价类是划分，因此不同的轨道互不相交。轨道中的元素个数称为轨道的长度，记作

。如果

是

所有的轨道，则有

轨道的概念非常直观，名称也很形象。无论这个群

迷向子群/稳定子群/稳定化子
设

是群，

是

-集，定义

称为

的

稳定子群（stable subgroup）或 迷向子群（isotropy group）或 稳定化子。可以验证稳定子群是

的子群。

可以看到

性质：设

是群，

是

-集，

满足

则

证明：

下面是一个重要的结论，且其证明过程更为重要。

命题：设

是群，

是

-集，

，则

。如果

是有限群，则

整除

。

证明：记

集合可以按照轨道进行划分，得到以下推论。

推论：设

是群，

是

-集，

是所有不同轨道的代表元，则

那么上述公式中的t是多少呢？即一个集合上的轨道条数有多少呢？

Burnside引理
设

是群，

是

-集，

是

作用下不动点的个数，

是

的轨道条数，则

接下来的部分，我们讨论一种特殊的群作用，即群作用在自身，使得

共轭作用
设

是有限集，定义

在

上的作用

，可以验证这是一个群作用，

所在的轨道就是

所在的共轭类

。如果

是共轭类的一个代表元系，就有

。

下面我们再来看共轭作用中

类方程
一个群

，