探讨计算机中使用补码表示负数的点滴思考

这里总结关于为什么负数运算使用补码的一些思考。

问题一：补码是什么？

补码是为了方便计算机对负数进行运算而发明出来的，对于正数没有意义。补码其实就是使用进行运算的数字的模（比如：一个8位二进制的模是1 0000 0000即2^8）减去当前负数的绝对值得到的结果。因为一个负数的绝对值加上他的反码是当前位数所能表示的最大值，也就是摸减去一，所以，一个负数的补码公式为：补码=反码+1。

问题二：为什么负数需要换成补码运算？

一个8位的二进制，最高位0代表正数，1代表负数，那么：

1 + 2 = 3
0000 0001 + 0000 0010 = 0000 0011  //3两个正数相加结果正确
-1 + 2 = 1
1000 0001 + 0000 0010 = 1000 0011 //-3一个负数+正数结果错误
-1 + (-2) = -3
1000 0001 + 1000 0010 = 0000 0011 //3两个负数相加结果错误

由于负数的原码直接参与运算得出的结果都是错误的，所以，现在有两个解决办法：

1.在加法器的基础上再实现一个减法器
2.在不增加减法器的基础上通过其他方法实现负数的运算

总的来说，大佬们采取了后面一种办法来曲线救国，这个就是补码。

1 + 2 = 3
0000 0001 + 0000 0010 = 0000 0011  //3两个正数相加结果正确
-1 + 2 = 1
1111 1111 + 0000 0010 = 0000 0001 //原码1一个负数+正数结果正确
-1 + (-2) = -3
1111 1111 + 1111 1110 = 1111 1101 //将该补码取反加一转换成原码为-3两个负数相加结果正确

那么为什么将负数变成补码就可以正确运算呢？这就要用到模的概念了。
举个比较好理解的例子，时钟。一个时钟有12个大的刻度，假如现在是6点，那么把指针拨到3点有两种办法，一种是逆时针拨动3格，也就是6-3=3，或者顺时针波动9格，即6+9=3(15-12=3)，这两种方法是等价的。很明显，时钟的模为12，那么从当前刻度转一圈12刻度其实回到了原点，所以，15点其实就是3点，即6-3=6+(12-3)-12=6+9-12，因为12超出显示范围所以被丢弃，即减去一个数等于加上一个数的补数，同理二进制的负数运算也可以转换成加法。

问题三：计算结果正负以及溢出

先看结果：

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1.关于相加结果正负

两个正数相加为正数和两个负数相加为负数，这两个应该没有异议。主要是正数+负数，从操作来看，正负符号相加为1，那么如果最高位进位1和符号位1相加，则为0，结果是正的；如果最高位没有进位，则符号位为1，结果是负的。从原理来讲，正数+负数=正数+补码，有进位说明正数+补码>=模， 因为|负数|+补码=模，那么正数>=|负数|，所以结果为正；同理没有进位说明正数+补码<模，那么正数<|负数|，所以结果为负。

2.关于相加结果溢出

两正数相加，最高位有进位就是超模了，所以，溢出。一正一负相加是不会溢出的，因为结果最大和最小值的绝对值也比模小一。两负数相加，最高位没有进位，说明两负数的补码相加没有超模，那么两负数的原码相加就肯定超模了，因为负数和其补码相加结果等于模，那么两负数加两补码就等于两个模，那么，两负数补码相加没有超模，两负数相加肯定超模，所以，两负数相加，最高位没有进位，结果就溢出了。

问题四：一个8位有符号整型最小值是-128

按照规则一个8位有符号整型的表示范围为：-127～127，但是这里有个问题就是0的唯一性问题，这里1000 0000和0000 0000都表示0，那么运算的时候用哪个表示0比较好，这个计算机无法判断，所以，干脆就把1000 0000表示-128，不仅可以表示多一位数，还可以解决0的唯一性问题，很合理。

以上就是我遇到关于负数补码的一些问题的思考，仅供参考。

参考：为什么计算机中的负数要用补码表示？