深入解析C语言动态规划中的多种背包问题
写在前面
之前讲过简单DP,经典01背包问题,在这我将会把背包问题更深入的讲解,希望能帮助大家更好的理解。
01背包问题
C语言数学问题与简单DP01背包问题详解
先回忆一下这个图
在这我再将01背包问题代码发一遍,可以用来做对比。
二维:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1005; int v[MAXN]; // 体积 int w[MAXN]; // 价值 int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 int main() { int n, m; cin >> n >> m; for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i]; for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= m; j++) { // 当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品 if(j < v[i]) f[i][j] = f[i - 1][j]; // 能装,需进行决策是否选择第i个物品 else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); } cout << f[n][m] << endl; return 0; }
一维:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1005; int f[MAXN]; // int main() { int n, m; cin >> n >> m; for(int i = 1; i <= n; i++) { int v, w; cin >> v >> w; // 边输入边处理 for(int j = m; j >= v; j--) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w); } cout << f[m] << endl; return 0; }
完全背包问题
完全背包问题和01背包问题的区别就在于完全背包问题中每件物品都有无限件可用。我们也可以先来试一下暴力写法。
#include<iostream> using namespace std; const int N = 1010; int n, m; int dp[N][N], v[N], w[N]; int main(){ cin >> n >> m; for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i]; for(int i = 1; i <= n; i ++ ) for(int j = 0; j <= m; j ++ ) for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )//因为每一件物品都有无限件可用,我们只需要找出单件价值最高的商品就可以了 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]); cout << dp[n][m] << endl; }
优化思路:
我们列举一下更新次序的内部关系:
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2v]+2w , f[i-1,j-3v]+3w , …)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2v] + w , f[i-1,j-3v]+2*w , …)
由上两式,可得出如下递推关系:
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
有了上面的关系,那么其实k循环可以不要了,核心代码优化成这样:
for(int i = 1 ; i <=n ;i++) for(int j = 0 ; j <=m ;j++) { f[i][j] = f[i-1][j]; if(j-v[i]>=0) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); }
这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下,下面是01背包的核心代码
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) for(int j = 0 ; j <= m ; j ++) { f[i][j] = f[i-1][j]; if(j-v[i]>=0) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); }
两个代码其实只有一句不同(注意下标)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题
因为和01背包代码很相像,我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样
for(int i = 1 ; i<=n ;i++) for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了,这里的j是从小到大枚举,和01背包不一样 { f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); }
综上所述,完全背包的最终写法如下:
#include<iostream> using namespace std; const int N = 1010; int f[N]; int v[N],w[N]; int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i = 1 ; i <= n ;i ++) { cin>>v[i]>>w[i]; } for(int i = 1 ; i<=n ;i++) for(int j = v[i] ; j<=m ;j++) { f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); } cout<<f[m]<<endl; }
多重背包问题 I
我们先来看这多重背包问题和01背包问题是不是很像,将s×v,s×w是不是就可以看成01背包问题了?
for(ll i=1;i<=n;i++) { cin>>a>>b>>c; for(ll j=1;j<=c;j++) { v[cnt]=a; w[cnt]=b; cnt++; }//将多重背包一个一个拆出来 }
然后转换成01背包问题解决。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const ll N=1e5+100; ll v[N],w[N]; ll f[N]; int main() { ll n,m; ll cnt=1; cin>>n>>m; ll a,b,c; for(ll i=1;i<=n;i++) { cin>>a>>b>>c; for(ll j=1;j<=c;j++) { v[cnt]=a; w[cnt]=b; cnt++; }//将多重背包一个一个拆出来 } for(ll i=1;i<=cnt;i++) { for(ll j=m;j>=v[i];j--) { f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); } }//01背包 cout<<f[m]; return 0; }
多重背包问题 II
这道题和1看起来没什么区别,但是数据范围变了,数据范围变了如果不优化就话超时,那怎么优化呢?
我们只需要将转换成01背包问题那一部分优化了就可以了。
int cnt = 0; // 将物品重新分组后的顺序 for (int i = 1; i <= n; i ++) { int a, b, s; // a 体积, b 价值, s 每种物品的个数 scanf("%d %d %d", &a, &b, &s); int k = 1; // 二进制拆分 打包时每组中有 k 个同种物品 while (k <= s) // 即y总说的: 最后一组的物品个数 < 2^(n+1) 1 2 4 8 16 ... 2^n 2^(n+1) { cnt ++; v[cnt] = a * k; // 每组的体积 w[cnt] = b * k; // 每组的价值 s -= k; k *= 2; // 注意是 k * 2,每次增长一倍,不是k * k } if (s > 0) // 二进制拆分完之后 剩下的物品个数分为新的一组 { cnt ++; v[cnt] = a * s; w[cnt] = b * s; } }
为什么可以这样优化呢
我们知道任何一个数都可以转化成二进制的数,那二进制和十进制的区别在哪呢?
一 、二进制与十进制
- 普通遍历问题
遍历 n 个物品, 采用二进制计数方法遍历与采用十进制技术方法遍历的时间复杂度是一样的
举例来说, 对于十进制数 8
十进制遍历: 0,1,2,3,4,5,6,7 共 8 次遍历
二进制遍历: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 共 8 次遍历
- 多重背包问题
同样的道理, 对于多重背包问题, 采用二进制的遍历方法不能优化时间复杂度
优化的原因在于引入了动态规划
二 、动态规划的时间复杂度估算
动态规划的时间复杂度 ≈≈ 问题的总个数 × 问题要做出的选择数
如, 对于 01 背包问题, 问题的总个数为N⋅V (N 为物品个数, V 为背包容量), 问题要做出的选择数为 2(选或不选)
则 01 背包问题的时间复杂度约为 2N⋅V
三 、多重背包
如果不采用动态规划的做法, 就像普通的遍历问题那样, 是否采用二进制的计数方法对时间复杂度的优化没有任何关系
但采用二进制的计数方法会影响问题的总个数与问题的选择数的乘积, 即动态规划做法下多重背包的时间复杂度
多重背包的动态规划时间复杂度
十进制遍历方法
问题的总个数为 N⋅V, N 为物品的种类数, V 为背包容量
问题的选择数约为 Smax,Smax 为每种物品数量的最大值
十进制下多重背包问题的 DP 时间复杂度为: N⋅V⋅Smax
二进制遍历方法
十进制下, 一种物品有 si个, 二进制下, 变为 1, 2, … , lgsi 个物品, 则共有 lgs1+lgs2+…+lgsn 个物品, 约为 Nlgsmax 个物品
问题的总个数为 N⋅V⋅lgsmax
问题的选择数为 2
十进制下多重背包问题的 DP 时间复杂度为: 2N⋅V⋅lgsmax
最后请看代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 11 * 1000 + 10, M = 2010; int v[N], w[N]; int f[M]; int main() { int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); int cnt = 0; // 将物品重新分组后的顺序 for (int i = 1; i <= n; i ++) { int a, b, s; // a 体积, b 价值, s 每种物品的个数 scanf("%d %d %d", &a, &b, &s); int k = 1; // 二进制拆分 打包时每组中有 k 个同种物品 while (k <= s) // 即y总说的: 最后一组的物品个数 < 2^(n+1) 1 2 4 8 16 ... 2^n 2^(n+1) { cnt ++; v[cnt] = a * k; // 每组的体积 w[cnt] = b * k; // 每组的价值 s -= k; k *= 2; // 注意是 k * 2,每次增长一倍,不是k * k } if (s > 0) // 二进制拆分完之后 剩下的物品个数分为新的一组 { cnt ++; v[cnt] = a * s; w[cnt] = b * s; } } n = cnt; // 所有的组数即为 01背包中的物品个数 // 写01背包模板 for (int i = 1; i <= n; i ++) for (int j = m; j >= v[i]; j --) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); printf("%d", f[m]); return 0; }
分组背包问题
- 状态表示:f[i][j]
集合:从前i组物品中选,且总体积不超过j的所有方案的集合.
属性:最大值
- 状态计算:
思想-----集合的划分
集合划分依据:根据从第i组物品中选哪个物品进行划分.
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
请看代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=110; int f[N][N]; //只从前i组物品中选,当前体积小于等于j的最大值 int v[N][N],w[N][N],s[N]; //v为体积,w为价值,s代表第i组物品的个数 int n,m,k; int main(){ cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>s[i]; for(int j=0;j<s[i];j++){ cin>>v[i][j]>>w[i][j]; //读入 } } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=m;j++){ f[i][j]=f[i-1][j]; //不选 不选表示不选第 i 组物品的所有物品,只从前 i−1 组物品里面选 for(int k=0;k<s[i];k++){ if(j>=v[i][k]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]); } } } cout<<f[n][m]<<endl; }
因为只用到了第i-1列,所以可以仿照01背包的套路逆向枚举体积
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=110; int f[N]; int v[N][N],w[N][N],s[N]; int n,m,k; int main(){ cin>>n>>m; for(int i=0;i<n;i++){ cin>>s[i]; for(int j=0;j<s[i];j++){ cin>>v[i][j]>>w[i][j]; } } for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=m;j>=0;j--){ for(int k=0;k<s[i];k++){ //for(int k=s[i];k>=1;k--)也可以 if(j>=v[i][k]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]); } } } cout<<f[m]<<endl; }
到此这篇关于C语言动态规划多种背包问题分析讲解的文章就介绍到这了,更多相关C语言 背包问题内容请搜索以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持!
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面
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