透析美赛核心秘诀:生动解读2024年美国数学竞赛A题——四大模拟动态方程分析实例
虽然有些动物物种不是典型的雄性或雌性,大多数物种在出生时都明显偏向雄性或雌性。尽管许多物种在出生时展示1:1的性别比例,但其他物种偏离了这个均等的性别比。这被称为适应性性别比例变异。例如,美国短吻鳄孵化蛋的巢温度就影响了出生时的性别比。
海鳗的作用很复杂。在某些湖泊栖息地中,它们被视为寄生物,但在某些地区,海鳗也是食物来源,如斯堪的纳维亚、波罗的海地区,以及北美太平洋西北地区的一些原住民社区。
海鳗的性别比例可能因外部环境而变化。海鳗成为雄性或雌性取决于它们在幼虫阶段的生长速度。这些幼虫生长速度受食物可用性的影响。在食物可用性低的环境中,生长速度会更慢,雄性的比例可以达到大约78%。在食物更容易获得的环境中,雄性的比例已被观察到约占总人口的56%。
我们专注于性别比例及其对当地条件的依赖问题,特别是海鳗。海鳗在湖泊或海洋栖息地生活,并上溯河流产卵。任务是检验物种改变其性别比例的能力的优势和劣势,以及根据资源可用性提供生态系统中相互作用的洞察。您的团队应该开发并检验一个模型。
需要考虑的问题包括:
当海鳗种群能改变其性别比例时,对更大生态系统有什么影响?
海鳗种群的优势和劣势是什么?
鉴于海鳗性别比例的变化,对生态系统稳定性有什么影响?
在海鳗种群性别比例可变的生态系统中,这种变化是否对生态系统中的其他物种,如寄生虫提供了优势?
解决方法
为了解决上述四种情况,我将设计一个简化的数学模型来探讨海鳗性别比率的变化对生态系统的影响,包括种群的优势和劣势,以及这种变化对生态系统稳定性的影响。此外,我们也将考虑性别比例的变化如何可能为生态系统中的其他物种(如寄生虫)提供优势。由于直接模拟生态系统的所有复杂性超出了此处的范围,我们将使用一个简化的模型来捕捉关键的动态。
这里我们展示一步到结果的简陋模型,4步进阶版在后面链接里面。
模型描述
- 理想化生态系统的基本演化模型:假设每个种群都在相对稳定的生态环境中,理想化生态系统( S S S)可以保持种群数量持续稳定。理想化生态系统仅会受到种群数量变化( R R R)和种群大小( N N N)。
- 生死消减的动态模型:种群的生长率受到资源的限制( A A A)和生物群落的竞争( C C C)的影响。
- 生态系统稳定性的影响:生态系统稳定性( E E E)受到种群大小、生物群落和资源可用性的共同影响。
- 对抗性博弈的影响:考虑每个种群在理想化生态系统中的相对地位( P P P)的影响。
数学模型
假设模型如下所示:
- 种群大小变化率: d N d t = R ⋅ N − A − C ⋅ S \frac{dN}{dt} = R \cdot N - A - C \cdot S dtdN=R⋅N−A−C⋅S
- 理想化生态系统演化: d S d t = f ( A , N ) − g ( C ) \frac{dS}{dt} = f(A, N) - g(C) dtdS=f(A,N)−g(C)
- 生态系统稳定性: E = h ( N , A ) − j ( S ) E = h(N, A) - j(S) E=h(N,A)−j(S)
- 对抗性博弈效应: d P d t = k ( N , S ) − m ( P ) \frac{dP}{dt} = k(N, S) - m(P) dtdP=k(N,S)−m(P)
其中,
f
(
A
,
N
)
f(A, N)
f(A,N) 表示资源的可用性和种群大小对理想化生态系统稳定性的正面影响,
g
(
C
)
g(C)
g(C) 表示生物群落竞争对生态系统稳定性的负面影响,
h
(
N
,
A
)
−
j
(
S
)
h(N, A) - j(S)
h(N,A)−j(S) 则揭示种群大小和资源的可用性共同对生态系统稳定性的综合影响,
k
(
N
,
S
)
k(N, S)
k(N,S) 表示种群大小和环境对博弈中种群地位的影响,
m
(
P
)
m(P)
m(P) 表示博弈中种群地位的内在衰减。
模拟结果显示了海鳗种群大小、性别比率以及寄生虫种群随时间的动态变化:
海鳗种群(蓝线)随时间增长,表明在考虑资源可用性和性别比率调整成本的情况下,种群能够持续增长。
性别比率(橙线)随时间出现小幅波动后趋于稳定,这表明性别比率能够根据环境条件和调整成本进行自我调节。
寄生虫种群(绿线)随着海鳗种群的增长而增长,显示了海鳗性别比率变化对生态系统中其他物种,如寄生虫的潜在影响。
分析
对生态系统的影响:海鳗种群的增长和性别比率的调节能力可能对食物链中的其他物种产生重要影响,包括资源竞争和寄生虫宿主的可用性。
优势和劣势:海鳗种群通过调整性别比率以适应资源变化显示出适应性的优势。然而,这种调节可能需要能量成本,并可能在资源极度有限时成为劣势。
对生态系统稳定性的影响:性别比率的动态调节和种群的增长可能短期内提高生态系统的适应性,但长期可能需要考虑其对生态系统多样性和稳定性的影响。
对其他物种的影响:海鳗种群的增长和性别比率的变化为寄生虫等其他物种提供了优势,可能导致生态系统内寄生虫种群的增加。
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义模型参数
R = 0.1 # 繁殖率
A = 0.8 # 资源可用性
C = 0.05 # 性别比率调整成本
initial_N = 50 # 初始种群大小
initial_S = 0.5 # 初始性别比率
initial_P = 10 # 初始寄生虫种群大小
# 定义模型函数
def model(y, t):
N, S, P = y
dNdt = ...
dSdt = ... # 假设性别比率随资源增加而增加,随成本增加而减少
dPdt = ... # 假设寄生虫种群随海鳗种群大小和性别比率增加而增加
return [dNdt, dSdt, dPdt]
# 时间跨度
t = np.linspace(0, 100, 1000)
# 解微分方程
solution = odeint(model, [initial_N, initial_S, initial_P], t)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(14, 6))
plt.plot(t, solution[:, 0], label='Sea Lamprey Population')
plt.plot(t, solution[:, 1], label='Sex Ratio')
plt.plot(t, solution[:, 2], label='Parasite Population')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Population / Ratio')
plt.legend()
plt.title('Dynamics of Sea Lamprey Population and Sex Ratio')
plt.show()
美赛的终极奥义-图文生动。2024美赛A题-四部模拟动态分析微分方程
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美赛的终极奥义-图文生动。2024美赛A题-四部模拟动态分析微分方程