自我管理的动态流程：揭秘生命体如何操控和分配资源

主动推理的经典和量⼦公式

摘要：

⽣命系统⾯临着环境的复杂性和⾃由能源的有限获取。在这些条件下⽣存 需要⼀个控制系统,该系统可以以特定于上下⽂的⽅式激活或部署可⽤的感知和⾏动资源。在第⼀部分中,我们介绍⾃由能原理（FEP）和⻉叶斯预测误差最⼩化主动推理的思想，并展⽰主动推理系统中控制问题是如何出现的。然后我们回顾 FEP的经典公式和量⼦公式,前者是后者的经典极限。在随附的第⼆部分中，我们表明,当系统被描述为执⾏由FEP驱动的主动推理时，它们的控制流系统始终可以表⽰为张量⽹络 (TN).我们展⽰了如何在量⼦拓扑神经⽹络的总体框架内实现TN作为控制系统,并讨论这些结果对多尺度⽣物系统建模的影响。

索引术语 ⻉叶斯⼒学、动态吸引⼦、⾃由能原理、量⼦参考系、⽆标度模型、拓扑量⼦场论。

一、简介

生物提供了复杂的多层次控制策略的显著例子，这些策略在多个尺度上指导适应性功能。同时,它们由通常被认为是遵循简单规则的物理对象的组件组成；如何将这两种观点严格地统一起来？主动推理框架回答这个问题，通过提供⼀个完全通⽤的、⽆标度的形式框架来⽤认知术语描述物理系统之间的相互作⽤。它基于⾃由能原理（FEP),⾸先在神经科学 中引⼊[1]-[5],然后扩展到⼀般的⽣命系统[6]-[9],然后扩展到所有⾃组织 系统[10]- [13]。FEP 指出,任何与其环境相互作⽤⾜够弱以随时间保持 其可识别性的系统 1) 都具有⻢尔可夫毯 (MB),将其内部状态与其环境状 态分开 [14]‒[18] 和 2) ⾏为随着时间的推移，以渐近最⼩化在其 MB 处 测量的变分⾃由能 (VFE) 的⽅式。同样，FEP 指出，任何对其密度动⼒学(以及MB)具有⾮平衡稳态 (NESS) 解的系统都会采取⾏动，以将其状态维 持在其 NESS 附近。任何符合FEP的系统都可以被描述为始终参与主动 推理：系统观察其环境、更新其对未来⾏为的概率“⻉叶斯信念”（即后验 或条件概率密度）的循环过程，并对其环境采取⾏动，以测试其预测并获得 附加信息。这种系统的内部动态可以被描述为反转其环境的⽣成模型 （GM),该模型提供对其⾏为对其 MB 的影响的预测。

作为⼀个完全通⽤的原则，FEP 适⽤于所有物理系统,⽽不仅仅是⾏ 为有趣、看似合理的认知系统,例如有机体或⾃主机器⼈ [10]。

直觉上,当⾏为复杂、适合情况并且在⾯对不断变化的环境条件时稳健时，对于外 部观察者以及我们可以假设的⾏为系统本⾝来说，⾏为是有趣的。弗⾥ 斯顿等⼈。[13]将有趣的系统描述为“奇怪的粒⼦”,其内部（即认 知）状态仅通过感知的环境响应受到其⾏为的影响；这样的系统必须向其 环境“提出问题”才能获得答案[19]。

这样的系统,甚⾄细菌和其他基础 ⽣物体[20]-[23],都有多种⽅式观察和作⽤于其环境,并以上下⽂敏感的 ⽅式部署这些资源。在运筹学语⾔中,他们表现出态势感知,即对⾏动背景的感知[24],并部署注意⼒系统来管理维持这种意识的信息、热⼒学和 代谢成本[12]，[22] 。态势感知是依赖的短期记忆和⻓期记忆,或者更技术性地说，精确（⻉叶斯）信念存在的时间段,有时称为 GM 的时间深度或地平线 [20]，[21]。因此,可以通过从细 胞尺度[25]向上检查记忆系统的容量和控制来对⾏为复杂性设置上限。从微⽣物垫到⼈类社会的⽣命系统都采⽤stigmergic memories[22],因此具有“扩 展思维”[26]，即关于具⾝、嵌⼊、活跃、扩展和情感（4EA embodied, embedded, enactive, extended, and affective (4EA)）认知的⽂献 [27] ，[28]。 这样的存储器必须是可读可写的；因此,任何使⽤它们的系统都必须具有 专⽤的、特定于内存的感知-⾏动能⼒。

任何具有多种感知-⾏动（或刺激-响应）能⼒的系统都需要⼀个控制 系统,该系统能够实现上下⽂引导的感知和⾏动，并阻⽌所有可⽤的感知- ⾏动能⼒的连续、同时部署。这种⾃组织需要从系统 GM 所接受的所有合理政策中选择特定的⾏动⽅案（即政策）。在主动推理框架中,系统的内部状态(因此是其 GM)可以被解读为编码后验概率密度（即⻉叶斯信念)对其感觉状态的原因（最重要的是包括其⾃⾝的⾏为).这导致了规划和控制的概念作为推论[29]-[31]，随后选择最有可能的政策给出的⾏动。

例如,在⼤肠杆菌等细菌中,不同代谢操纵⼦的基因调控⽹络(GRNs gene regulatory networks (GRNs)之间的相互抑制仅在检测到⽬标碳源时才允许特定碳源(例如糖)代谢途径的表达。环境[32]。通过趋化性chemotaxis控制觅⻝⾏为采⽤了类似的 （在本例中为双稳态）机制[33]。这种机制在多细胞形态发⽣中很活跃, 例如,在涡⾍的头与尾形态决策中[34]。在⼈脑中,竞争视觉处理流之间的 相互抑制在双眼竞争（在呈现给左眼和右眼的不同场景之间切换）或对 模糊图形（例如内克⽴⽅体）的不断变化的解释中很明显[35]，[36]；在 其他感觉通路中也观察到类似的竞争效应[37]。它还描述了背侧和腹侧 注意系统之间的竞争性相互作⽤，分别实现⾃上⽽下和⾃下⽽上的感觉 资源⽬标[38]。它在意识处理的全球⼯作空间模型中被更⼤规模地调⽤， 其中传⼊的信息流必须相互竞争，相互抑制,以“获得意识”[39]，[40]。

相 互抑制会产⽣能量障碍，实现切换的控制系统必须花费⾃由能源来克服；控制器不仅必须“打开”⾸选系统，还必须“关闭”抑制。所需的⾃由能量 消耗反过来会引起滞后现象，从⽽导致时间体系中的⾮线性、赢家通吃的 “转换”⾏为。当两种感知-⾏动能⼒在功能上不兼容或同时部署成本太 ⾼时，这种障碍及其时间后果就会持续存在于更复杂的控制系统中。

从理论、FEP 的⻆度来看，感知-⾏动能⼒之间的切换可以被视为选择 ⼀个由 GM ⽀持的合理政策或计划。从技术上讲，政策或计划的概率分 布可以根据可能结果的后验预测密度下预期的⾃由能函数来计算，如下 ⾯的 2.1 中所述。实现切换过程的控制系统可以被认为采⽤ GM 来预 测每个感知-动作能⼒（即策略），或为其分配概率分布，作为上下⽂的 函数[41]、[42]。我们可以认为 GM 会⽣成关于⾏为后果的概率“信念”， 这⾥的“信念”只是⼀种数学描述的结构，例如经典的条件概率密度或 具有指定幅度的量⼦态。

因此，“规划”或“控制”总是可以被视为推理同样是在计算的基本意义上 通过（正常⻛格）因⼦图上的变分消息 传递或“信念传播”来实现：⼀个图，其节点对应于与消息传递通道相对 应的概率分布和⽆向边的因⼦。因⼦图可以与消息传递⽅案相结合，消息 通常对应于所讨论因⼦的⾜够统计数据，以提供诸如边际密度等函数的 有效计算[43]、[44]。因此，在 FEP 下，⼈们可以将控制形式化为推理的控 制，这意味着存在根据因⼦图上的消息传递来描述控制。当 GM 处于离 散状态时，这意味着⽤张量算⼦来描述控制。

⼏乎所有的规划模拟（在离散状态空间 GM 下）都使⽤因⼦图形式。⾄关重要的是，因⼦图的结构体现了 GM 的结构，并且有效地体现了任何 系统在其 MB 上表⽰数据（的明显原因）的⽅式；即，它“将⾃然的分割Carving the nature at its joints 雕刻成状态、物体和分类特征”的⽅式。（柏拉图有个经典说法说一个成功的理论是：Carving the nature at its joints—对自然界的正确切分。）

在（经典）FEP 下，构成因⼦图节点的因⼦对应于平均场近似中的状态空 间分解，物理学家或统计学家使⽤它来实现变分⻉叶斯（⼜名近似⻉叶 斯）推论[45]。有关技术细节，请参阅 [46]；有关⼤脑应⽤的信息，请参阅 [47]；有关所选应⽤列表的补充信息，表 1。

我们在本⽂的第⼀部分和第⼆部分中表明，此类系统中的控制流始终 可以形式化地描述为张量⽹络，将某些总体张量（即⾼维矩阵）算⼦分 解为成对收缩的多个分量张量算⼦共享⾃由度[48]。特别是，我们表明，允许构建 TN 的因式分解条件与允许识别 MB 上不同的、相互条件独⽴ （⽤量⼦术语，退相⼲）数据集的条件完全相同，因此允许识别环境中不 同的“物体”或“特征”。这种等价性使得 TN 的拓扑结构 其中许多 拓扑结构在 TN 形式主义在其他领域的应⽤中得到了很好的表征 [48]

被用作主动推理系统中控制结构的分类； 包括细胞、⽣物体和多⽣物体群落。特别是，它允许对认知系统是否以及在多⼤程度上可以对其环境施加分解或 分体（即部分-整体）结构的问题采取原则性的⽅法。这种结构⾃然会引发局部 性的概念，从⽽引发⼏何学的概念。时空本⾝的⼏何形状被描述为⼀个特定的 TN ‒ 多尺度纠缠重整化 ansatz (MERA multiscale entanglement renormalization ansatz (MERA) [49]‒[51] ‒ 表明能够观察时空的 系统中的控制流之间存在深层联系（即能够实现内部表⽰时空）和时空作为 物理构造的深层结构。

我们从第⼆部分开始，分析主动推理的三种不同表⽰形式的 控制流问题。

⾸先，我们采⽤2.1中 FEP [10]、[11] 的经典统计公式来将控制流描述为在 多种计算状态上动态吸引⼦之间实现离散的概率转换。然后，我们在2.2中 ⽤量⼦信息理论术语重新表述了物理相互作⽤；在这个公式中[12]，GM的组 成部分可以被认为是不同的量⼦参考框架（QRF）[52]，[53]，并由Barwise-Seligman分类器[54]的分层⽹络表⽰，如[55‒ 58]]中开发的。然后控制流实 现 QRF 之间的离散转换。第三步，在2.3中，采⽤了[59]中开发的分类器层次 结构和拓扑量⼦场论（TQFTtopological quantum field theories (TQFTs）之间的映射。这⾥，控制流由 TQFT 实现，过渡 幅度由路径积分给出。这些表⽰中的第⼆个和第三个提供了内在（或“量 ⼦”）情境效应的正式表征，这些表征与[60]、[61]中情境性的层理论处理和默 认情境性（CbD Contextuality by Default (CbD)）⽅法⼀致。[62]、[63]；另请参⻅[57]和[59，§7.2]中的讨论。潜在的主题是，上下⽂性的出现是由于所有可能的观察中不存在任何全局可 定义（最⼤连接）的条件概率分布（参⻅例如[64]从更⼀般的物理⻆度进⾏ 的评论）。扩展我们之前的分析[57]，我们讨论了预期主动推理系统通常会表 现出这种上下⽂效应的原因。

在第⼆部分中，我们开发了控制流的完全通⽤张量表⽰，并证明当且仅当识 别不同特征所需的可分离性（或条件统计独⽴性）条件时，该张量可以分解 为 TN，或者物体、环境都得到满⾜。我们展⽰了 TN 架构如何允许对控制流进 ⾏分类，并给出了两个说明性⽰例。然后，我们讨论 TN 和⼈⼯神经⽹络 (ANN) 架构之间的⼏种既定关系，以及这些关系如何推⼴到拓扑量⼦神经⽹络 [59]、 [65]，其中标准深度学习 (DL) 架构是⼀个经典限制 [66 ]。得出这些正式结果后，我们转向这些结果对⽣物学的影响，并讨论 TN 架构如何与正在建模的系 统的观测能⼒相关联，特别是在检测空间局部性和分体学的能⼒⽅⾯。我们考 虑如何根据 TN 架构对已知控制路径进⾏分类以及如何使⽤实验设计中控制流的 TN 表⽰。最后，我们期待这些基于 FEP 的⼯具如何进 ⼀步整合物理和⽣命科学。

三．结论

我们在第⼀部分中展⽰了主动推理系统中出现定义控制流的问题，并提供了 该问题的三种形式表⽰。特别是，控制流可以表⽰为经典动态吸引⼦之间、部署的 QRF 之间以及 TQFT 表⽰的计算过程之间的切换。实施控制流有*能源成本；因 此，任何控制流系统都必须在其⾃⾝的处理成本与输⼊/输出模式之间切换的预期收 益之间进⾏权衡。此外，控制流的时间和记忆依赖性通常会导致对感知和⾏动的上下⽂影响。

在本⽂的第⼆篇中，我们将⾸先证明主动推理系统中的控制流始终可以表⽰为 TN，并展⽰ TN 架构如何提供⽅便的分类控制流。然后，我们展⽰如何通过 TQNN 来 实现这些功能，并讨论这种形式主义在⽣物系统控制流特征问题中的应⽤。

⼆.控制问题的正式描述

。。。换句话说，主动推理是⻉叶斯信念更新 的过程，其中包含对环境的主动探索。它是解释通过 MB 耦合的两个随机动⼒ 系统之间⼴义同步的⼀种⽅法。

如果“粒⼦”π是⽣物细胞，那么很⾃然地认为MB b是由细胞膜实现的， “内部”状态μ是细胞内部的⼤分⼦或⽣化状态；事实上，正是这种关联推动 了 FEP 在细胞⽣命中的应⽤ [5]。在这种情况下，NESS 对应于维持稳态（或 更⼴泛地说，异稳态allostasis[67]-[69]）的状态或状态邻域，从⽽维持 π 作为活细胞的 结构和功能完整性。这种⾃我维护的活动被称为“不证⾃明”[70]；符合 FEP 的系统可被视为不断⽣成其持续存在的证据 [10]。

在[13]的术语中，细胞是“奇怪的粒⼦”它们的信号转导途径监控其环 境的状态（组成部分），但不直接监控它们对环境的⾏为（即它们⾃⼰的活 跃状态）。因此，任何⾏动的后果只能从环境的反应中推断出来。在这种情况 下，因果关系总是不确定的：环境对细胞的⾏为（细胞检测为环境状态变化） 是否是细胞过去采取的⾏为的因果结果，⽆法通过可⽤的数据来确定到细 胞。因此，每⼀个动作都会增加 VFE，⽽每⼀次观察（可能）都会降低它。细胞 GM 的（明显）任务是最⼩化平均增加，同时最⼤化减少VFE。

FEP 提供的⻉叶斯⼒学意味着（经典）热⼒学；事实上，FEP 可以被解读 为约束最⼤熵或⼝径原理 [71]、[72]。这是因为推理，即不证⾃明，需要信念更 新，⽽信念更新通过 Jarzynski 等式产⽣热⼒学成本 [73]-[75]。该成本提供 了代谢维持所需的热⼒学⾃由能的下限。例如，细胞对其环境的⾏为（例如趋 化运动）很⼤程度上是由获取热⼒学⾃由能的需要驱动的。因此，细胞的 GM 不能通过最⼩化作⽤来最⼩化 VFE [76]；相反，它必须成功预测哪些⾏动将 补充其⾃由能源供应。由于⾏动的能源成本很⾼，因此需要权衡短期成本与 ⻓期⽬标。如[41]所⽰，在不同时间尺度上运⾏的选择性压⼒有利于元处理器 的开发，这些元处理器以上下⽂相关的⽅式控制较低级别的操作；这些通常 通过分层 GM 来实现 [77]。这种元级控制提供了上下⽂中⻛险敏感⾏为的 概率模型。

虽然此类系统可以被描述为调节⾃由能寻求⾏为，但它们也调节信息寻 求⾏为，即好奇⼼驱动的探索[78]-[80]。这是因为 VFE 提供了复杂性减去准 确性的上限 [81]。因此，以任何⾏动为条件的预期⾃由能 (EFE) 可以根据预 期复杂性和预期不准确性进⾏评分。预期的复杂性是“⻛险”，对应于产⽣ 热⼒学成本的信念更新程度；导致⻛险敏感的控制（例如向光性）。预期的 不准确对应于导致认知⾏为的“模糊性”（例如，在路灯下寻找丢失的钥匙） [42]。

当考虑上下⽂相关控制时，NESS 的邻域分解为⼀个局部最⼩值⽹络，对 应于固定的感知-动作循环，该循环被能量障碍隔开，控制系统必须克服这些 能量障碍才能在循环之间进⾏切换。例如，在细胞中，这种能量屏障包括激活 ⼀个途径同时使另⼀个途径失活所需的能量，其中可能包括磷酸化、其他化 学修饰、额外基因表达等的能量成本。不同对的途径可以预计将被不同⾼度 的能量屏障分开，产⽣地形复杂的⾃由能景观 topographically-complex free energy landscape that coarse-grains，在⻓期平均中，粗粒到 NESS 的邻域，即维持动态平衡 [68]， [69]，[82]。

如前所述，我们可以将可控感知-动作循环视为因⼦图上的节点，其边对 应于控制流的路径，并且将边标记为与循环之间的能量势垒成反⽐的转移概 率。这允许将⽤于元级（即分层）控制的 GM 表⽰为消息传递系统，如[47]中 所述。⾮常⾼的能量屏障的存在可以使这种 GM 有效地单向，正如在信号转 导途径和表征形态发⽣过程中细胞分化的 GRN 之间的上下⽂相关转换中 所看到的那样。这些⽣物学的例⼦包括对涡⾍⽣物电模式记忆的修改，这可 以创造出替代物种的头部形状，最终重塑回正常状态[83]，或者产⽣永久性的 双头蠕⾍，并永久再⽣为双头蠕⾍[83]。84]。

2.2.QRF quantum reference frames (QRFs)

传统上，细胞信息处理被视为完全经典的，即由⼤分⼦因果⽹络实现，每个 ⼤分⼦通过局部动态过程经历经典状态转换，这些过程有条件地独⽴于⽹络 其他部分的状态。虽然蛋⽩质和其他⼤分⼦的“量⼦”性质已得到⼴泛认可， 但量⼦效应的重要程度仍然存在争议，简单的单分⼦退相⼲模型预测阿秒 （ 10−18 s）或更短的退相⼲时间[85 ]，[86]：⽐分⼦信息处理过程的时间尺 度低⼏个数量级[87]。虽然量⼦相⼲性在分⼦内信息处理中的功能作⽤已被 证明，但分⼦间相⼲性在实验上仍然难以捉摸[88]-[91]。

然⽽，原核和真核细胞的⾃由能预算⽐⽀持分⼦尺度上的完全经典信息处 理所需的要⼩⼏个数量级，这表明细胞利⽤量⼦相⼲性作为计算资源[92]。⼤ 脑中更远距离、组织尺度的⼀致性的间接证据也已被报道[93]。⽤量⼦信息 理论术语重新表述 FEP 使其能够描述不能忽视⻓程相⼲性以及量⼦计算的 情况。

其中KB表⽰玻尔兹曼常数，T 是环境的绝对温度，k = A 或 B，特征值在 {−1, 1} 中的Mk N 个互正交算⼦，α ∈ [0, 1] 使得= 1，且 βk ≥ ln 2 是 k 热⼒学效率的逆度量，取决于内部动⼒学Hk；有关此构建 的进⼀步动机和细节，请参阅[56]、[58]、[94]、[95]，有关教学审查，请参阅 [96]。该描述纯粹是拓扑学的，没有将⼏何形状归因于 U 或 B；因此，它允 许感知“对象”的“嵌⼊空间”成为依赖于观察者的构造。它有⼏个相关 的后果：

• 我们可以将A 和B 视为分开的，并由独⽴的措施确定。它们被 全息屏幕 B 分隔并通过全息屏幕 B 进⾏交互，不失⼀般性，全息屏幕 B 可以⽤ N 个⾮交互量⼦位的数组来表⽰，其中 N 是HAB [94]、[95] 的维 度。

• A和B可以被视为交换有限的N位字符串，每个字符串编码HAB的⼀个特征值[94]

• A 和 B 可以⾃由选择 HAB 的基础，对应于 B 处局部框架的⾃由选 择，例如，对于 B 上的每个量⼦位qi⾃由选择局部 z 轴，从⽽⾃由选 择 z ⾃旋算⼦sz作⽤于⽓[96]。

基础的选择对应于A 和B 各⾃选择总能量的零点。因此，系统A 和B ⼀ 般处于信息平衡状态，但不处于热平衡状态[12]。

•由于 A 和 B 必 须分别从 B 或 A 获得，⽆论需要什么热⼒学⾃由能，根据 Landauer 原理 [73]、[99]、[100]， 为 B 上的经典位编码提供资⾦（以及与任何其他不可逆经典计算⼀ 样），A 和 B 必须各⾃将 B 的部分 F ⽤于获取⾃由能。F 中的位 被“作为燃料燃烧”，因此不会为计算提供输⼊数据。⼀个系统的 废热消散是另⼀系统获取的免费能量。A 和 B 的⾃由能扇区FA和 FB不需要作为 B 上量⼦位的⼦集对⻬；也就是说，A 视为⾃由能源 的量⼦位可能会被 B 视为信息输出，反之亦然 [56]、[58]。

• B 上的内部动态HA和HB的作⽤可以由 A 和 B 特定的 QRF 组来表⽰，每个 QRF 组都“测 量”和“准备”B 上的量⼦位。每个 QRF 以某种特定⽅式作⽤于量⼦位。B 的扇区，打破 了⽅程的排列对称性。(2)[56]、[58]、[59]。仅 QRF 作⽤于 F 以外的扇区 实施信息计算；因此，我们将限制对这些 QRF 的关注。

在不失⼀般性的情况下，每个“计算”QRF 都可以⽤包含 Barwise-Seligman 分类器和 它们之间的信息形态的锥-可锥图 (CCCD) 来表⽰ [54]、[55]。根据定义，每个此类 CCCD 的顶点都是“输⼊/输出”分类器的范畴理论极限和余极限，形式上对应于等式 1 中的 算⼦Mk 。(2)[56]、[58]、[59]。

通常，CCCD 的结构为分布式信息流，其形式如下：（范畴图）

在适当的索引范围内合并分类器集{Aα}和（逻辑）信息形态 {fi , gjk} [54, Ch 12]。作为⼀个内存写⼊系统，图（3）描绘了变分⾃动编码器（VAE）⽹ 络的通⽤蓝图，适合描述具有信念更新的分层⻉叶斯⽹络，如[12]、[57]中 讨论的],⾄关重要的是，这种形式的 CCCD 的⾮交换性指定了内在或量⼦上下⽂， 例如，当余极限核⼼ C 不可定义时就会发⽣这种情况 [57, §7, §8] [59, §7.2]。第⼆部分通过⽰例讨论了这种情境的后果。

全息屏幕 B 充当将 A 与 B 分开的 MB。它可以被视为具有 N 维、N 量 ⼦位希尔伯特空间Hqi = i qi 。虽然Hqi严格附属于HU = HA ⊗ HB，但通 过考虑乘积HA ⊗ Hqi和HB ⊗ Hqi ，可以在纠缠熵 S(|A)、S(|B) → 0 的极限下恢复经典情况分别是 A 和 B 的“粒⼦”状态空间。在这个经典极 限下， Hqi的状态成为 MB 的覆盖状态，MB 充当经典信息通道 [94]- [96]。例如，在量⼦全息编码中，B 通常由双曲盘的多边形镶嵌表⽰，量⼦ 位由多边形质⼼表⽰。[97] 中开发了五边形代码的特定 TN 模型；特别 参⻅他们的图4。B 的⼏何描述作为实现全息编码，及其作为直接⽆环图 (DAG) 结构的 MB 的经典极限，在 [98] 中的 TQNN 设置中得到了进⼀步探讨。

在这个量⼦理论图中，A或B观察和操纵的“系统”或“物体”对应于B 上的扇区，这些扇区是A或B分别部署的特定QRF的域[12]，[58]，[59 ]。为 了简化符号，我们使⽤相同的符号，例如“Q”来表⽰ QRF Q 和 B 上的扇 区 dom(Q)。任何可识别的系统 X 因⼦分解为“参考”分量 R，它保持时不变状态 |R 或更⼀般地，状态密度 ρR，允许重新识别，从⽽允许在延⻓的时间内进⾏连续测量，以及具有时变 状态的“指针”分量 P态 |P 或密度ρP 。 正是这个指针组件（以模拟仪器 的指针命名）是测量的“感兴趣状态”。QRF R 和 P 显然必须可交换，并 且扇区 R 和 P 显然必须相互退相⼲ [12]、[58]、[59]。所有“系统”部⻔都必 须是与“可观察环境”相对应的某个总体部⻔ E 的组成部分。将测量结果记 录到经典存储器中以及从存储器中读取先前记录的结果可以类似地由于 dom(Y ) 是 B 上的⼀个扇区，所以可以⽤ QRF Y 来表⽰ A 的记录存储器 暴露于其中并因此受到修改由B，反之亦然。可观察环境 E 和存储扇区 Y 都 必须与⾃由能扇区 F 不相交且退相⼲。

由于 B 上的操作对经典数据进⾏编码，因此它们的相关⾃由能量成本⾄ 少为每⽐特 ln2 KBT [73]、[99]、[100]，该成本必须源⾃ F 处的源。时间-能 量互补将 a h/[ln2(KBT)]达到该能量消耗的最短时间，其中 h 是普朗克常数。 因此，我们可以将 B 上的操作（包括内存写⼊）与内部时间 QRF 的“刻度” 关联起来，我们分别将 A 和 B 表⽰为tA和tB 。假设所有观测结果都写⼊内 存，我们可以表⽰如图 1 所⽰的情况。时间 QRF 实际上是⼀个传出位计数 器，可以⽤群形运算符Gij表⽰：ti → tj [56]。由于 A 和 B 的传出⽐特相对 于 B 的⽅向相反，因此时间“箭头” tA和tB指向相反的⽅向。因此，正如[96] 中所讨论的，A和B都可以被视为“与⾃⼰的未来相互作⽤”。

如果满⾜以下条件，则系统 X 的测量可以被认为是连续的：1）它们根据内 部时间 QRF 在时间上分开，并且 2）它们的结果被记录到内存中以实现跨时 间的可⽐性。我们在[59]中表明，顺序测量总是可以⽤两个模式之⼀来表⽰。使⽤紧凑表⽰法：

由于 P 和 Q 都必须与 R 交换，因此满⾜ S 的交换性要求。图（6）和（7）中描述的操作序列清楚地提出了如何实施控制的问题，以及如何检测驱动控制流的上下⽂变化。在第⼆部分讨论这些问题之前，我们回顾⼀ 下 QRF 的路径积分表⽰，表明相同的表⽰也捕获由 QRF 识别的任何系统 X 的⾏为， 并讨论多个观察者和量⼦上下⽂的问题。

2.3. TQFT topological quantum field theories (TQFTs)

作为最⼩作⽤原理，FEP 本质上是关于联合系统 U 通过其状态空间所遵循的路 径的。经典 FEP 适合路径积分公式 [13]，它将通过相关状态空间的路径 x(t) 的 任何可观察（函数）Ω[x(t)] 的期望值表⽰为 ( [101], Eq 6):

其中x0是初始状态，p(x(t)|x0)是路径 x(t) 的条件概率。量⼦理论有效地概括了这种 表达。将 Ω[x(t)] 替换为相关希尔伯特空间上的⾃同构，并将 p(x(t)|x0) 替换为给定初 始状态 x0 的 x(t) 的幅度。对于某些有限维希尔伯特空间 H，所有此类⾃同构的流形 是 H 上的共边，根据定义，它是 H 上的 TQFT [102]。

我们在[59]中表明，对 B 的任何扇区 X 的任何顺序测量都会引起 X 上的 TQFT， 被视为与 B 相关的 N 维边界希尔伯特空间Hqi的投影。特别是，图形式的测量序列 （ 6) 可以映射到共边，即两个指定边界之间的映射流形，其形式为：

⽽序列可以映射为图(7)形式到形式的协边：

⽆论哪种情况，F : CCCD → Cob 都是从 CCCD（以及 QRF）的范畴 CCCD 到定 义 TQFT 所需的有限共边的类别 Cob 的函⼦。

⼀般来说，我们可以说：

定理 1 （[59]Thm.1）。对于CCCD中CCCD的任何态射F，都存在⼀个配边S，使得图 (9)或(10)形式的图可交换。

证明参⻅⽂献[59]。

根据定理 1，这个复合算⼦ Q 本⾝就是⼀个 TQFT [98]。因此，将 t 时扇区 X 的观测 结果记录到内存中，然后将它们与 t + Δt 处的后续观测结果进⾏⽐较，在形式上相当 于将“系统”X 从 t 时间向前传播到 t+Δt。将 QRF 识别为“内部”TQFT 允许对单个系统（例如 A）部署的多个 QRF 之间的 信息交换进⾏⼀般分析。因为所有 QRF 都作⽤于 B，所以 QRF 之间的信息交换需要 ⼀个穿过 B 的通道。任何此类通道都是其本⾝⼀个 QRF，⼀个由 B 部署。考虑到 A 包含两个观察者，⼀个部署Q1，另⼀个部署Q2，它们通过本地操作进⾏交互，经典通 信（LOCC [103]）协议提供了⼀个⽰例：

在 LOCC 协议中，⼀个通道被视为“经典”，⽽另⼀个通道被视为“量⼦”；然⽽， 这种语⾔掩盖了两个通道都是物理通道的事实。正如[104]中所指出的，所有⽀持经 典通信的媒体都是物理的，与这些媒体的交互始终是本地测量或准备。因此，LOCC 协议中的两个通道在物理上是等效的 都是由 B 实现的 尽管它们的常规语义不同。

图（12）还可以清楚地表⽰系统的任何两个功能组件之间的外部介导的通信，例 如细胞内的⼤分⼦路径或⼤脑内的功能⽹络。我们在[98]中表明，每当Q1和Q2由不 同的（技术上可分离的或相互退相⼲的）“观察者”或“系统”部署时，它们就⽆法交 换，即交换器[Q1, Q2] = Q1Q2 − Q2Q1 ≥ h/2，其中 h ⼜是普朗克常数。如[57]中 所⽰，使⽤ CCCD 表⽰的定理 3.4，QRF 的⾮交换性引起量⼦上下⽂相关性，即测量 结果对表征测量的“⾮局部隐藏变量”的依赖性 上下⽂[105]-[107]。在当前上下⽂中，此类隐藏变量表征了HB对 B的作⽤，影响 A 在 AB 交互的每个周期中接下来观察到的内容。

如[63]所⽰，原则上，如果可以实现对上下⽂的⾜够测量，则可以经典地捕获这种 上下⽂依赖性。然⽽，这样的测量必须访问 B 的全部。MB 的存在 阻⽌此类访问；在当前设置中，A 只能通过 B 访问 B。测量的有限能量成本以及随之 ⽽来的对热⼒学扇区 F 的要求，甚⾄阻⽌任何有限物理系统对所有 B 进⾏测量。因 此，我们可以预期物理系统，包括所有⽣物系统，仅采⽤局部上下⽂相关的控制来在相 互⾮通勤（组）之间进⾏切换QRF。[22]介绍了QRF开关实现的上下⽂切换如何引发进化、发展和学习。