Softmax 函数与 Log-Likelihood 损失详解：理解二者在概率评估中的角色

softmax神经元

softmax神经元的想法其实就是位神经网络定义一种新式的输出层，开始时和S型神经元一样，首先计算带权输入$z_j^L=\sum_kw_{jk}^La_k^{L-1}+b_j^L$。不过们这里我们不会使用S型神经元来获得输出。而是在这一层上应用一种叫做softmax函数在$z_j^L$上。根据这个函数，第j个神经元的输出值$a_j^L$就是：

其中，分母中的求和是在所有输出神经元上进行的。

为了更好地理解softmax函数的作用，可以先试试这个动画，拖动四个滑块来观察输出的变化。

很明显可以发现一个事情：当你增大一个值的时候，它的输出也会相应地增大，同时，其他三个值的输出都会响应的减少。

并且如果仔细观察的话，可以发现增大的量与减小的量之和是相等的，并且所有输出值之和为1！

这一点很容易证明，从定义就可以看出：

所以，如果一个值增加，那么其输出也会增加，其他值的输出就会相应减少增加的量，以保证最后各输出的和为1。

同时，根据定义，我们还可以发现无论怎么改变输入值的大小，所有的输出值都是正的。

将这两点结合起来我们可以看到softmax的输出是一些相加为1的正数的结合。换言之，softmax的输出可以被看做是一个概率分布。

这样的效果非常令人满意，即在数字分类问题中，我们可以将输出看做是网络估计正确数字分类为$j$的概率。

log-likelihood 损失函数

我们现在已经对柔性最⼤值神经元层有了⼀定的认识。但是我们还没有看到⼀个柔性最⼤值层会怎么样解决学习缓慢问题。为了解决这点，我们先定义一个log-likelihood（对数似然）代价函数。我们使用$x$表示网络的训练输入，$y$表示对应的目标输出。然后关联这个训练输入的对数似然代价函数就是：

例如，对于数字识别问题来说，如果输入为7的图像，那么对应的对数似然函数就是$-\ln a_7^L$。当网络表现很好的时候，它的输出值$a_7^L$的值就十分接近于1，含义是该数字为7的概率接近$100\%$，这个时候代价函数的值就非常小（$\ln 1$接近于0）；当网络表现不好的时候，输出值就会离1比较远，这个时候的输出代价函数就会比较大一点。

那么关于学习缓慢的问题呢？为了分析他，我们首先要完求出C对于权重和偏置的偏导数：

这些方程与cross-entropy（交叉熵）得到的方程类似，尽管后者对整个训练样本进行了平均，不过形式还是一致的。正如对于交叉熵的分析一样，这些表达式确保我们不会遇到学习缓慢的问题。

如果对于cross-entropy损失函数不了解，可以先看一下这篇博客

事实上，把一个具有对数最大似然代价的softmax输出成，看做与一个具有交叉熵代价的S型输出层非常相似，这是很有用的。