入门详解：三角函数大家族的正交特性 - 把函数拆解成傅立叶级数，以及 sine & cosine 级数的具体应用(第一部分)

由三角函数组成的函数项级数，即所谓的三角级数，着重研究如何把函数展开成三角级数。

一、三角级数 三角函数系的正交性

如何深入研究非正弦周期函数呢？我们用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，因此我们也可将周期函数展开由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为$T(=\frac{2\pi }{\omega })$的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$组成的级数来表示，记为
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$A_0,A_n,{\phi }_n(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$都是常数。

将周期函数按上述方式展开，它的物理意义很明确，就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析，其中常数项$A_0$称为$f(t)$的直流分量，$A_{1}sin(\omega t+{\phi }_1)$称为一次谐波（又叫做基波），$A_{2}sin(2\omega t+{\phi }_2)$，$A_{3}sin(3\omega t+{\phi }_3),\cdot \cdot \cdot$依次称为二次谐波，三次谐波，等等。

为了方便起见，将正弦函数$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$按三角公式变形得
$$A_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)=A_{n}sin{\phi }_{n}cosn\omega t+A_{n}cos{\phi }_{n}sinn\omega t$$
并且令$\frac{a_0}{2}=A_0,a_n=A_{n}sin{\phi }_n,b_n=A_{n}cos{\phi }_n,\omega =\frac{\pi }{l}$（即$T=2l$），则（1）式右端的级数就可以改写为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cos\frac{n\pi t}{l}+b_{n}sin\frac{n\pi t}{l})\text{\hspace{1em}(2)}$$
形式（2）式的级数叫做三角级数，其中$a_0,a_n,b_n(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot )$都是常数。

令$\frac{\pi l}{l}=x$，（2）式成为
$$\frac{a_0}{2}$$

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