深入浅出线性回归（二）：机器学习笔记

但其实还有很多问题需要我们解决：这个模型的效果如何？如何评判这个效果？开始线性模型的假设成立吗？如何验证这些假设？还会有其它问题会影响模型效果吗？带着这些问题我们开始本篇的内容。

• 线性回归拟合优度
  
• 线性回归假设检验
  
• 线性回归诊断
  

▌线性回归拟合优度

1. 判定系数

回归直线与各观测点的接近程度成为回归直线对数据的拟合优度。而评判直线拟合优度需要一些指标，其中一个就是判定系数。

我们知道，因变量y值有来自两个方面的影响：

（1）来自x值的影响，也就是我们预测的主要依据

（2）来自无法预测的干扰项ϵ的影响

如果一个回归直线预测非常准确，那么它就需要让来自x的影响尽可能的大，而让来自无法预测干扰项的影响尽可能的小，也就是说x影响占比越高，预测效果就越好。下面我们看一下如何定义这些影响，并形成指标。

• SST（总平方和）：变差总平方和
  
• SSR（回归平方和）：由x与y之间的线性关系引起的y变化
  
• SSE（残差平方和）：除x影响之外的其它因素引起的y变化
  

它们之间的关系是：

还是用上篇的数据为例，利用R2来测试一下拟合的效果是怎么样的。

def R2square(yArr,y_hat):
    n = len(yArr)
    yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
    y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
    # ssr
    diff_yhat = y_predict - np.mean(yArr)
    ssr = np.sum(np.power(diff_yhat,2))
    # sst
    diff_y = yArr - np.mean(yArr)
    sst = np.sum(np.power(diff_y,2))
    return round(ssr/sst,2)
R2square(yArr,y_predict)
>>0.97

可以看到最后的得分是0.97，说明拟合程度还是很不错的。

2. 估计标准误差

判定系数R2的意义是由x引起的影响占总影响的比例来判断拟合程度的。当然，我们也可以从误差的角度去评估，也就是用残差SSE进行判断。估计标准误差是均方残差的平方根，可以度量各实际观测点在直线周围散布的情况。

估计标准误差与判定系数相反，se反映了预测值与真实值之间误差的大小，se越小说明拟合度越高，相反，se越大说明拟合度越低。仍然用之前的数据集进行测试：

def MSEsqrt(yArr,y_hat):
    n = len(yArr)
    yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
    y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
    diff = yArr - y_predict
    # sse
    sse = np.sum(np.power(diff,2))
    return round(np.sqrt(sse/(n-2)),2)
MSEsqrt(yArr,y_predict)
>>0.08

可以看到，平均的标准误差只有0.08，非常低，说明了拟合效果很不错，同时也证实了R2结果的正确性。

▌线性回归的显著性检验

要想知道我们根据样本拟合的模型是否可以有效地预测或估计，我们需要对拟合的模型进行显著性检验。回归分析中的显著性检验主要包括两方面内容：线性关系检验；回归系数检验。

1. 线性关系检验

线性关系检验是指多个自变量x和因变量y之间的线性关系是否显著，它们之间是否可以用一个线性模型表示。检验统计量使用F分布，其定义如下：

SSR的*度为：自变量的个数k

SSE的*度为：n-k-1

利用F统计量，线性关系检验的一般步骤为：

（1）提出原假设和备择假设

（2）计算检验的统计量F

（2）作出统计决策

与假设检验相同，如果给定显著性水平α，则根据两个*度k和n-k-1进行F分布的查表。若

通过上面步骤的假设，我们也看到了：在多元线性回归中，只要有一个自变量系数不为零（即至少一个自变量系数与因变量有线性关系），我们就说这个线性关系是显著的。如果不显著，说明所有自变量系数均为零。

2. 回归系数检验

回归系数的显著性检验与线性检验不同，它要求对每一个自变量系数进行检验，然后通过检验结果可判断出自变量是否显著。因此，我们可以通过这种检验来判断一个特征（自变量）的重要性，并对特征进行筛选。检验统计量使用t分布，步骤如下：

（1）提出原假设和备择假设

对于任意参数

有：

（2）计算检验统计量t

（3）作出统计决策

如前面一样，我们需要根据*度n-k-1查t分布表，并通过α或者p值判断显著性。

3. Python代码实现

下面通过一段代码来说明上面两种显著性检验，为了方便我们直接通过statsmodels模型引入ols模型进行回归拟合，然后查看总结表，其中包括F和t统计量结果。

import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm
# 创建线性回归最小二乘法模型
model = sm.OLS(yArr,xArr)
results = model.fit()
results.summary()

通过上面结果我们清楚看到：

• F统计量的p值非常小，拒绝原假设，说明线性关系显著
  
• 两个回归系数的t统计量p值均为0，拒绝原假设，说明回归系数也都显著
  

▌线性回归的诊断

线性回归的诊断包括很多内容，比较重要的几个有：

（1）残差分析

（2）线性相关性检验

（3）多重共线性分析

（4）强影响点分析

下面我们开始分别介绍这几个需要诊断的内容。

残差分析

还记得我们的模型是怎么来的吗？没错，线性回归模型是基于一些假设条件的：除了自变量和因变量有线性相关关系外，其它假设基本都是关于残差的，主要就是残差ϵ独立同分布，服从

总结一下关于残差有三点假设：（1）正态性检验；（2）独立性检验；（3）方差齐性检验。下面我们将对这些假设逐一诊断，只有假设被验证，模型才是成立的。

1. 正态性检验

干扰项（即残差），服从正态分布的本质是要求因变量服从变量分布。因此，验证残差是否服从正态分布就等于验证因变量的正态分布特性。关于正态分布的检验通常有以下几种方法。

（1）直方图法：

直方图法就是根据数据分布的直方图与标准正态分布对比进行检验，主要是通过目测。比如本例中我们的直方图可以这样显示出来：

residual = results.resid
sns.distplot(residual,
             bins = 10,
             kde = False,
             color = 'blue',
             fit = stats.norm)
plt.show()

通过目测，我们发现残差的数据分布并不是很好的服从正态分布，因此这里是不满足假设条件的。

（2）PP图和QQ图：

PP图是对比正态分布的累积概率值和实际分布的累积概率值。statsmodels中直接提供了该检测方法：

# pp图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.ppplot(line='45')

QQ图是通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较，从而来检验数据的分布情况。对应于正态分布的QQ图，就是由标准正态分布的分位数为横坐标，样本值为纵坐标的散点图。同样的，我们通过一段代码来观察一下：

# qq图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.qqplot(line='q')