使用MATLAB解决线性方程组的迭代方法(附详细代码和算法)
前言
在之前的文章中更新了线性方程组的基本解法,大型方程组的分解求法。本节将介绍线性方程组的迭代求解。
一. 三个变换
在线性方程组的迭代求解中,会用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角矩阵和下三角矩阵。这三种变化在MATLAB中,可以直接利用函数实现。
1.1 上三角变换
triu(A,1)
1.2 对角变换
diag(A)
1.3 下三角变换
tril(A,-1)
针对此类矩阵的解释,可以参看这篇文章:
MATLAB:矩阵基础_唠嗑!的博客-****博客
例题1
对以下矩阵A做此三种变换。
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
A=[1 2 -3;1 1 1;2 2 1];
%上三角变换
up=triu(A,1)
%对角变换
diag=diag(A)
%下三角变换
down=tril(A,-1)
运行结果:
up =
0 2 -3
0 0 1
0 0 0
diag =
1
1
1
down =
0 0 0
1 0 0
2 2 0
分析:
二. Sylvester方程
Sylvester方程的形式如下:
此方程中,A是矩阵,B是矩阵,C和X都是矩阵。
在MATLAB中可以直接调用函数求解,如下:
X=sylvester(A,B,C)
例题2
求解Sylvester方程AX+XB=C的解X。其中A,B,C矩阵如下:
,,
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
A=[1 0 2 3;4 1 0 2;0 5 5 6;1 7 9 0];
B=[0 -1;1 0];
C=[1 0;2 0;0 3;1 1];
X=sylvester(A,B,C)
运行结果如下:
X =
0.4732 -0.3664
-0.4006 0.3531
0.3305 -0.1142
0.0774 0.3560
三. Jacobi迭代法
原方程组Ax=b中的矩阵A可以写成,如下:
上式子中-L和-U分别为A矩阵的严格下,上三角部分,当然不包含对角元素。其中矩阵D的表达如下:
根据迭代的思想,x可得如下表达式:
上式子中的B,f理解如下:
为了更好理解这种迭代形式,将原线性方程组写全,如下:
如果系数矩阵非奇异,即,那么可得:
运用迭代公式,最终的方程组如下:
在调用jacobi()函数之前,需要提前编码,我们来看下jacobi函数的内部结构,如下:
function y=jacobi(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while(norm(y-x0))>=1.0e-6
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
例题3
设x0=0,精度为,利用Jacobi方法求解以下方程组。
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];
b=[9;7;6];
jacobi(a,b,[0;0;0]) %注意初始值也为一个矩阵
%对jacobi函数的定义
function y=jacobi(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while(norm(y-x0))>=1.0e-6
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
运行结果:
n =
11
ans =
0.9958
0.9579
0.7916
四. Gauss-Seidel迭代法
借助Jacobi的方法,迭代方程也可以如下形式:
同样地,-L、-U分别为A的严格下、上三角部分,且不包含对角线元素。G,f,D的定义如下:
为了深入理解此种迭代方式,可列出矩阵中的元素。
在迭代计算过程中,需要同时保留两个近似解向量和。由此可以把迭代公式改写为如下:
备注:由于显示的原因,上式子中的“L"代表省略号
由此可以在MATLAB中编码seidel()函数,如下:
function y=seidel(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=G*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=G*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
例题4
设x0=0,精度为,利用Gauss-Seidel方法求解以下方程组。
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];
b=[9;7;6];
seidel(a,b,[0;0;0])
function y=seidel(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
G=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=G*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=G*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
运行结果:
n =
7
ans =
0.9958
0.9579
0.7916
分析:此例子可以直接求解。也可能会出现使用Seidel迭代时,结果不收敛的情况。
五. SOR迭代法
在某些情况下,Jacobi法和Gauss-Seidel法收敛的过程较慢,为了进一步改进,可以引入一种新的迭代法:逐次超松弛迭代法(Succesise Over Relaxation),简记为SQR法。
迭代的公式如下:
上式子中,w的最佳值一般在[1,2)之间,具体视情况而定。
松弛法的主题思想是将乘上一个参数因子w来作为修正项,从而得到新的近似解。迭代公式可见如下:
上式子中的的计算,可见如下:
由此可得迭代的化简过程,如下:
按照上述式子计算Ax=b的近似解序列的方法,就被称之为松弛法,其中w为松弛因子。当w<1时称为低松弛;当w>1时称为超松弛;当w=1时,其实就是Gauss-Seidel迭代。
根据以上过程构造sor函数,MATLAB代码如下:
function y=sor(a,b,w,x0)
D=diag(diag(a)); %形成对角矩阵,其余元素为0
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
f=(D-w*L)\b*w;
y=M*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=M*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
例题5
设x0=0,精度为,w=1.103,利用SOR方法求解以下方程组。
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10];
b=[9;7;6];
sor(a,b,1.103,[0;0;0])
%函数部分
function y=sor(a,b,w,x0)
D=diag(diag(a)); %形成对角矩阵,其余元素为0
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
f=(D-w*L)\b*w;
y=M*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=M*x0+f;
n=n+1;
end
n
end
运行结果:
n =
8
ans =
0.9958
0.9579
0.7916
六. 两步迭代法
当线性方程系数矩阵为对称正定时,还可以使用一种特殊的迭代法来解决:两步迭代法。迭代的公式,如下:
首先可得:
进一步推导可得:
根据以上计算过程,可以编写twostp()函数,MATLAB代码如下:
function y=twostp(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
G1=(D-L)\U;f1=(D-L)\b;
G2=(D-U)\L;f2=(D-U)\b;
y=G1*x0+f1;
y=G2*y+f2;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=G1*x0+f1;
y=G2*y+f2;
n=n+1;
end
n
end
例题6
利用两步法,求解如下方程组:
解:
MATLAB代码如下:
clc;clear;
a=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 3;0 3 -1 8];
b=[6;25;-11;15];
twostp(a,b,[0;0;0;0])
function y=twostp(a,b,x0)
D=diag(diag(a));
U=-triu(a,1);
L=-tril(a,-1);
G1=(D-L)\U;f1=(D-L)\b;
G2=(D-U)\L;f2=(D-U)\b;
y=G1*x0+f1;
y=G2*y+f2;
n=1;
while norm(y-x0)>=1.0e-6
x0=y;
y=G1*x0+f1;
y=G2*y+f2;
n=n+1;
end
n
end
运行结果:
n =
7
ans =
1.0791
1.9824
-1.4044
0.9560
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面