用MATLAB轻松解决一元三次方程——盛金公式的应用
MATLAB实现一元三次方程求解/盛金公式
一元三次方程求解中，1945年卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式发表出来，但该公式形式比较复杂，直观性也较差。1989年范盛金对一元三次方程求解进行了深入的研究和探索，提出了更加简洁实用的求解公式-盛金公式。这里对盛金公式进行简要的介绍，并给出MATLAB实现的具体代码和部分算例。参考资料：百度百科-卡尔丹公式；百度百科-盛金公式
一元三次方程求解–盛金公式
一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3 +bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 重根判别式令 A = b 2 − 3 a c A=b^2-3ac A=b2−3ac， B = b c − 9 a d B=bc-9ad B=bc−9ad， C = c 2 − 3 b d C=c^2-3bd C=c2−3bd总判别式 Δ = B 2 − 4 A C \Delta=B^2-4AC Δ=B2−4AC
下面给出盛金判别法的结论
条件1 当
A
=
B
=
0
A=B=0
A=B=0时：
x
1
=
x
2
=
x
3
=
−
b
3
a
=
−
c
b
=
−
3
d
c
x1=x2=x3= \frac{-b}{3a}= \frac{-c}{b}= \frac{-3d}{c}
x1=x2=x3=3a−b=b−c=c−3d
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如何找出三次函数的拐点？
条件2 当
Δ
=
B
2
−
4
A
C
>
0
\Delta=B^2-4AC>0
Δ=B2−4AC>0时：
x
1
=
−
b
−
(
Y
1
3
+
Y
2
3
)
3
a
x1= \frac{-b-(\sqrt[3]{Y1}+\sqrt[3]{Y2})}{3a}
x1=3a−b−(3Y1+3Y2)
x
2
=
−
b
+
0.5
(
Y
1
3
+
Y
2
3
)
+
0.5
3
(
Y
1
3
−
Y
2
3
)
i
3
a
x2=\frac{-b+0.5(\sqrt[3]{Y1}+\sqrt[3]{Y2})+ 0.5{\sqrt{3}} (\sqrt[3]{Y1}-\sqrt[3]{Y2})i}{3a}
x2=3a−b+0.5(3Y1+3Y2)+0.53(3Y1−3Y2)i
x
3
=
−
b
+
0.5
(
Y
1
3
+
Y
2
3
)
−
0.5
3
(
Y
1
3
−
Y
2
3
)
i
3
a
x3=\frac{-b+0.5(\sqrt[3]{Y1}+\sqrt[3]{Y2})- 0.5{\sqrt{3}} (\sqrt[3]{Y1}-\sqrt[3]{Y2})i}{3a}
x3=3a−b+0.5(3Y1+3Y2)−0.53(3Y1−3Y2)i其中，
Y
1
=
A
b
+
1.5
a
(
−
B
+
B
2
−
4
A
C
)
Y1=Ab+1.5a({-B+\sqrt{B^2-4AC}})
Y1=Ab+1.5a(−B+B2−4AC)，
Y
2
=
A
b
+
1.5
a
(
−
B
−
B
2
−
4
A
C
)
Y2=Ab+1.5a({-B-\sqrt{B^2-4AC}})
Y2=Ab+1.5a(−B−B2−4AC)。
条件3 当
Δ
=
B
2
−
4
A
C
=
0
\Delta=B^2-4AC=0
Δ=B2−4AC=0时：
x
1
=
B
A
−
b
a
x1= \frac{B}{A}- \frac{b}{a}
x1=AB−ab
x
2
=
x
3
=
−
B
2
A
x2= x3= -\frac{B}{2A}
x2=x3=−2AB
条件4 当
Δ
=
B
2
−
4
A
C
<
0
\Delta=B^2-4AC<0