[Python图像处理] 32. 详细总结傅里叶变换去噪与霍夫变换特征识别（附带万字解析）

该系列文章是讲解Python OpenCV图像处理知识，前期主要讲解图像入门、OpenCV基础用法，中期讲解图像处理的各种算法，包括图像锐化算子、图像增强技术、图像分割等，后期结合深度学习研究图像识别、图像分类应用。希望文章对您有所帮助，如果有不足之处，还请海涵~

前面一篇文章介绍了民族服饰及文化图腾识别，详细讲解图像点运算，包括灰度化处理、灰度线性变换、灰度非线性变换、阈值化处理。这篇文章将讲解两个重要的算法——傅里叶变换和霍夫变换，万字长文整理，希望对您有所帮助。同时，该部分知识均为作者查阅资料撰写总结，并且开设成了收费专栏，为小宝赚点奶粉钱，感谢您的抬爱。当然如果您是在读学生或经济拮据，可以私聊我给你每篇文章开白名单，或者转发原文给你，更希望您能进步，一起加油喔~

PS：写这篇文章另一个重要的原因是Github资源有作者提交了新的贡献，发现提交的是霍夫变换，因此作者也总结这篇文章。博客专栏9比1分成，真的挺不错的，也希望大家能分享更好的文章。

• https://github.com/eastmountyxz/ImageProcessing-Python

前文参考：

[Python图像处理] 一.图像处理基础知识及OpenCV入门函数

[Python图像处理] 二.OpenCV+Numpy库读取与修改像素

[Python图像处理] 三.获取图像属性、兴趣ROI区域及通道处理

[Python图像处理] 四.图像平滑之均值滤波、方框滤波、高斯滤波及中值滤波

[Python图像处理] 五.图像融合、加法运算及图像类型转换

[Python图像处理] 六.图像缩放、图像旋转、图像翻转与图像平移

[Python图像处理] 七.图像阈值化处理及算法对比

[Python图像处理] 八.图像腐蚀与图像膨胀

[Python图像处理] 九.形态学之图像开运算、闭运算、梯度运算

[Python图像处理] 十.形态学之图像顶帽运算和黑帽运算

[Python图像处理] 十一.灰度直方图概念及OpenCV绘制直方图

[Python图像处理] 十二.图像几何变换之图像仿射变换、图像透视变换和图像校正

[Python图像处理] 十三.基于灰度三维图的图像顶帽运算和黑帽运算

[Python图像处理] 十四.基于OpenCV和像素处理的图像灰度化处理

[Python图像处理] 十五.图像的灰度线性变换

[Python图像处理] 十六.图像的灰度非线性变换之对数变换、伽马变换

[Python图像处理] 十七.图像锐化与边缘检测之Roberts算子、Prewitt算子、Sobel算子和Laplacian算子

[Python图像处理] 十八.图像锐化与边缘检测之Scharr算子、Canny算子和LOG算子

[Python图像处理] 十九.图像分割之基于K-Means聚类的区域分割

[Python图像处理] 二十.图像量化处理和采样处理及局部马赛克特效

[Python图像处理] 二十一.图像金字塔之图像向下取样和向上取样

[Python图像处理] 二十二.Python图像傅里叶变换原理及实现

[Python图像处理] 二十三.傅里叶变换之高通滤波和低通滤波

[Python图像处理] 二十四.图像特效处理之毛玻璃、浮雕和油漆特效

[Python图像处理] 二十五.图像特效处理之素描、怀旧、光照、流年以及滤镜特效

[Python图像处理] 二十六.图像分类原理及基于KNN、朴素贝叶斯算法的图像分类案例

[Python图像处理] 二十七.OpenGL入门及绘制基本图形（一）

[Python图像处理] 二十八.OpenCV快速实现人脸检测及视频中的人脸

[Python图像处理] 二十九.MoviePy视频编辑库实现抖音短视频剪切合并操作

[Python图像处理] 三十.图像量化及采样处理万字详细总结（推荐）

[Python图像处理] 三十一.图像点运算处理两万字详细总结（灰度化处理、阈值化处理）

文章目录

• 一.图像傅里叶变换概述
• 二.图像傅里叶变换操作

• 1.Numpy实现傅里叶变换
• 2.Numpy实现傅里叶逆变换
• 3.OpenCV实现傅里叶变换
• 4.OpenCV实现傅里叶逆变换

• 三.基于傅里叶变换的高通滤波和低通滤波

• 1.高通滤波器
• 2.低通滤波器

• 四.图像霍夫变换概述
• 五.图像霍夫线变换操作
• 六.图像霍夫圆变换操作
• 七.总结

在数字图像处理中，有两个经典的变换被广泛应用——傅里叶变换和霍夫变换。其中，傅里叶变换主要是将时间域上的信号转变为频率域上的信号，用来进行图像除噪、图像增强等处理；霍夫变换主要用来辨别找出物件中的特征，用来进行特征检测、图像分析、数位影像处理等处理。

一.图像傅里叶变换概述

傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）常用于数字信号处理，它的目的是将时间域上的信号转变为频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。同时，可以从频域里发现一些原先不易察觉的特征。傅里叶定理指出“任何连续周期信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。”

傅里叶公式（1）如下，其中w表示频率，t表示时间，为复变函数。它将时间域的函数表示为频率域的函数f(t)的积分。

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（或基函数）相加合成。从物理角度理解，傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。如上图所示，它是由三条正弦曲线组合成。其函数为（2）所示。

傅里叶变换可以应用于图像处理中，经过对图像进行变换得到其频谱图。从谱频图里频率高低来表征图像中灰度变化剧烈程度。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号往往是低频信号。这时可以有针对性的对图像进行相关操作，例如图像除噪、图像增强和锐化等。二维图像的傅里叶变换可以用以下数学公式（3）表达，其中f是空间域（Spatial Domain）)值，F是频域（Frequency Domain）值。

二.图像傅里叶变换操作

对上面的傅里叶变换有了大致的了解之后，下面通过Numpy和OpenCV分别讲解图像傅里叶变换的算法及操作代码。

1.Numpy实现傅里叶变换

Numpy中的 FFT包提供了函数 np.fft.fft2()可以对信号进行快速傅里叶变换，其函数原型如下所示，该输出结果是一个复数数组（Complex Ndarry）。

• fft2(a, s=None, axes=(-2, -1), norm=None)– a表示输入图像，阵列状的复杂数组– s表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状（每个转换轴的长度），其中s[0]表示轴0，s[1]表示轴1。对应fit(x,n)函数中的n，沿着每个轴，如果给定的形状小于输入形状，则将剪切输入。如果大于则输入将用零填充。如果未给定’s’，则使用沿’axles’指定的轴的输入形状– axes表示整数序列，用于计算FFT的可选轴。如果未给出，则使用最后两个轴。“axes”中的重复索引表示对该轴执行多次转换，一个元素序列意味着执行一维FFT– norm包括None和ortho两个选项，规范化模式（请参见numpy.fft）。默认值为无

Numpy中的fft模块有很多函数，相关函数如下：

• numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None) 计算一维傅里叶变换
• numpy.fft.fft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 计算二维的傅里叶变换
• numpy.fft.fftn() 计算n维的傅里叶变换
• numpy.fft.rfftn() 计算n维实数的傅里叶变换
• numpy.fft.fftfreq() 返回傅里叶变换的采样频率
• numpy.fft.shift() 将FFT输出中的直流分量移动到频谱*

下面的代码是通过Numpy库实现傅里叶变换，调用np.fft.fft2()快速傅里叶变换得到频率分布，接着调用np.fft.fftshift()函数将中心位置转移至中间，最终通过Matplotlib显示效果图。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('test.png', 0)

#快速傅里叶变换算法得到频率分布
f = np.fft.fft2(img)

#默认结果中心点位置是在左上角,
#调用fftshift()函数转移到中间位置
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#fft结果是复数, 其绝对值结果是振幅
fimg = np.log(np.abs(fshift))

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(fimg, 'gray'), plt.title('(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图2所示，图2(a)为原始图像，图2(b)为频率分布图谱，其中越靠近中心位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。

需要注意，傅里叶变换得到低频、高频信息，针对低频和高频处理能够实现不同的目的。同时，傅里叶过程是可逆的，图像经过傅里叶变换、逆傅里叶变换能够恢复原始图像。

下列代码呈现了原始图像在变化方面的一种表示：图像最明亮的像素放到*，然后逐渐变暗，在边缘上的像素最暗。这样可以发现图像中亮、暗像素的百分比，即为频域中的振幅AA的强度。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#读取图像
img = cv.imread('Na.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)

#转移像素做幅度普
fshift = np.fft.fftshift(f)       

#取绝对值：将复数变化成实数取对数的目的为了将数据变化到0-255
res = np.log(np.abs(fshift))

#展示结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.show()

输出结果如图3所示，图3(a)为原始图像，图3(b)为频率分布图谱。

2.Numpy实现傅里叶逆变换

下面介绍Numpy实现傅里叶逆变换，它是傅里叶变换的逆操作，将频谱图像转换为原始图像的过程。通过傅里叶变换将转换为频谱图，并对高频（边界）和低频（细节）部分进行处理，接着需要通过傅里叶逆变换恢复为原始效果图。频域上对图像的处理会反映在逆变换图像上，从而更好地进行图像处理。

图像傅里叶变化主要使用的函数如下所示：

• numpy.fft.ifft2(a, n=None, axis=-1, norm=None) 实现图像逆傅里叶变换，返回一个复数数组
• numpy.fft.fftshift() fftshit()函数的逆函数，它将频谱图像的中心低频部分移动至左上角
• iimg = numpy.abs(逆傅里叶变换结果) 将复数转换为0至255范围

下面的代码分别实现了傅里叶变换和傅里叶逆变换。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import matplotlib

#读取图像
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
res = np.log(np.abs(fshift))

#傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#设置字体
matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

#展示结果
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title(u'(a)原始图像')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title(u'(b)傅里叶变换处理')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title(u'(c)傅里叶逆变换处理')
plt.axis('off')
plt.show()

输出结果如图4所示，从左至右分别为原始图像、频谱图像、逆傅里叶变换转换图像。

上一篇： opencv c++ fftshift

下一篇： 信号处理在频域中的应用