1. FFT 知识

傅里叶变换(\(Fourier\ Transform,FT\)) 是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）到频域之间的变换。

\(FFT\)变换(\(Fast\ Fourier\ Transform，快速傅里叶变换\)) 是针对一组数值进行运算，这组数的长度 \(N\) 必须是 \(2\) 的整数次幂，例如：\(64、128、256\) 等。

数值可以是实数也可以复数，通常我们的时域信号都是实数。

对这 \(N\) 个实数值进行 \(FFT\) 变换，得到一个有 \(N\) 个复数的数组，称此复数数组为频域信号。复数数组有如下规律：

• 下标为 \(0\) 和 \(N/2\) 的两个复数的虚数部分为 \(0\)。
• 下标为 \(i\) 和 \(N-i\) 的两个复数共轭，也就是虚数部分值相同、符号相反。

示例：以 \(rand\) 随机生成实数数组 \(x\) ，对其 \(fft\) 变换，结果为 \(8\) 个复数。

import numpy as np

x = np.random.rand(8)
print(x)

xf = np.fft.fft(x)
print(xf)

[0.66622462 0.49234934 0.40298128 0.48832192 0.76572852 0.18502897
 0.49050222 0.36262891]

[ 3.85376579+0.j          0.02892604-0.21866575j  0.53846964+0.17357253j
 -0.22793384-0.39370763j  0.79710752+0.j         -0.22793384+0.39370763j
  0.53846964-0.17357253j  0.02892604+0.21866575j]

通过 \(ifft\) 变换（逆 \(fft\) 变换）还原：

print(np.fft.ifft(xf))

[0.66622462+0.j 0.49234934+0.j 0.40298128+0.j 0.48832192+0.j
 0.76572852+0.j 0.18502897+0.j 0.49050222+0.j 0.36262891+0.j]

\(ifft\) 运算结果实际与 \(x\) 相同，由于浮点数运算误差，出现非常小的虚部。

\(FFT\) 变换后复数代表什么意思？

• 下标为 \(0\) 的实数表示时域信号中的直流成分的多少。
• 下标为 \(i\) 的复数 \(a+b*j\) 表示时域信号中周期为 \(N/i\) 个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少，其中 \(a\) 表示 \(cos\) 波形的成分，\(b\) 表示 \(sin\) 波形的成分。

示例：对直流信号进行 \(FFT\) 变换。

x = np.ones(8)
print(x)

print(np.fft.fft(x) / len(x))

[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]

[1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]

所谓直流信号，就是其值不随时间变化。

为了计算各个成分的能量多少，将 \(FFT\) 的结果除以长度。

示例：

① 对周期为 \(8\) 个取样的正、余弦波进行 \(FFT\) 变换。

x = np.arange(0, 2*np.pi, 2*np.pi/8)
y = np.sin(x)
print(np.fft.fft(y)/len(y))

z = np.cos(x)
print(np.fft.fft(z)/len(z))

[ 1.53080850e-17+0.00000000e+00j -4.30636606e-17-5.00000000e-01j
  1.53080850e-17-2.77555756e-17j  1.24474906e-17+0.00000000e+00j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  1.24474906e-17+0.00000000e+00j
  1.53080850e-17+2.77555756e-17j -4.30636606e-17+5.00000000e-01j]

[-4.30636606e-17+0.00000000e+00j  5.00000000e-01-5.83717456e-17j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  0.00000000e+00+2.86059436e-18j
  1.24474906e-17+0.00000000e+00j  0.00000000e+00-2.86059436e-18j
  1.53080850e-17+0.00000000e+00j  5.00000000e-01+5.83717456e-17j]

正弦波的 \(FFT\) 结果：下标为 \(1\) 的复数的虚部为 \(-0.5\)，产生的正弦波的放大系数（振幅）为 \(1\)，它们之间的关系是 \(-0.5*(-2)=1\)。

余弦波的 \(FFT\) 结果：只有下标为 \(1\) 的复数的实数部分有有效数值 \(0.5\)，和余弦波的放大系数（振幅） \(1\) 之间的关系是 \(0.5*2=1\)。

② 对周期为 \(4\) 个取样的正、余弦波进行 \(FFT\) 变换。

print(np.fft.fft(2*np.sin(2*x))/len(x))
print(np.fft.fft(0.8*np.cos(2*x))/len(x))

[ 6.1232340e-17+0.000000e+00j  6.1232340e-17+6.123234e-17j
 -1.8369702e-16-1.000000e+00j  6.1232340e-17-6.123234e-17j
  6.1232340e-17+0.000000e+00j  6.1232340e-17+6.123234e-17j
 -1.8369702e-16+1.000000e+00j  6.1232340e-17-6.123234e-17j]

[-2.44929360e-17+0.00000000e+00j -3.46382422e-17-3.08148791e-33j
  4.00000000e-01-9.79717439e-17j  3.46382422e-17-3.08148791e-33j
  2.44929360e-17+0.00000000e+00j  3.46382422e-17+3.08148791e-33j
  4.00000000e-01+9.79717439e-17j -3.46382422e-17+3.08148791e-33j]

\(FFT\) 的有效成分在下标为 \(2\) 的复数中。

正弦波的 \(FFT\) 结果：正弦波的放大系数（振幅）为 \(2\)，因此频域虚数部分的值为 \(-1\)。

余弦波的 \(FFT\) 结果：余弦波的放大系数（振幅）为 \(0.8\)，因此其对应的值为 \(0.4\)。

同频率的正弦波和余弦波通过不同的系数叠加，可以产生同频率的各种相位的余弦波，因此我们可以这样来理解频域中的复数：

• 复数的模（绝对值）代表此频率的余弦波的振幅。
• 复数的辐角代表了此频率的余弦波的相位。

③ 最后一个例子。

x = np.arange(0, 2*np.pi, 2*np.pi/128)
y = 0.3*np.cos(x) + 0.5*np.cos(2*x+np.pi/4) + 0.8*np.cos(3*x-np.pi/3)
yf = np.fft.fft(y)/len(y)
print(yf[:4])

print(np.angle(yf[1]))

print(np.abs(yf[1]), np.rad2deg(np.angle(yf[1])))

print(np.abs(yf[2]), np.rad2deg(np.angle(yf[2])))

print(np.abs(yf[3]), np.rad2deg(np.angle(yf[3])))

[1.22514845e-17+0.00000000e+00j
 1.50000000e-01-5.20417043e-18j
 1.76776695e-01+1.76776695e-01j
 2.00000000e-01-3.46410162e-01j]

-3.469446951953613e-17

0.15000000000000005 -1.987846675914697e-15

0.2500000000000001 45.000000000000014

0.39999999999999997 -60.00000000000002

上例产生了三个不同频率的余弦波，并且给他们不同的振幅和相位：

• 周期为 \(128/1\) 点的余弦波的相位为 \(0\)， 振幅为 \(0.3\)
• 周期为 \(64/2\) 点的余弦波的相位为 \(45\) 度， 振幅为 \(0.5\)
• 周期为 \(128/3\) 点的余弦波的相位为 \(-60\) 度，振幅为 \(0.8\)

numpy.angle(z, deg=0)：计算复数的辐角主值。

参数：

• z：复数或复数组成的列表。
• deg：若为 \(False\)（默认），返回值是弧度值。若为 \(True\)，返回值是角度值。

返回值：

• \(n\) 维数组或标量。复平面上从正实半轴出发沿逆时针方向到复数所在点走过的角度。

import numpy as np
print('结果用弧度制表示：{}'.format(np.angle(1+1j)))
print('结果用角度制表示：{}'.format(np.angle(1+1j, deg=True)))

结果用弧度制表示：0.7853981633974483
结果用角度制表示：45.0

numpy.rad2deg(array, out)：将弧度转换为度。

参数：

• array：要计算其度值的角度。
• deg：输出数组的形状。

返回值：

• 返回一个数组，包含弧度对应的角度。

import numpy as np
import math

arr = [0, math.pi/2, math.pi/4, math.pi/6 ]
print ("弧度值 : \n", arr)

degval = np.rad2deg(arr)
print ("角度值 : \n", degval)

弧度值 : 
 [0, 1.5707963267948966, 0.7853981633974483, 0.5235987755982988]
角度值 : 
 [ 0. 90. 45. 30.]

2. np.fft.fft()

numpy.fft.fft(a, n=None, axis=-1, norm=None)：计算一维离散傅里叶变换。

参数：

• a：输入数组。
• n：输出的变换轴的长度。如果 \(n\) 小于输入的长度，则裁剪输入。如果 \(n\) 小于输入的长度，则用 \(0\) 填充。未给出 \(n\)，则使用沿轴指定的轴的输入长度。
• axis：计算 \(FFT\) 的轴。如果未给出，则使用最后一个轴。
• norm：标准化模式。取值为{“backward”, “ortho”, “forward”}。默认设置是backward。指示缩放前向/后向转换对应的哪个方向以及使用什么标准化因子。

返回：

• 截断或补零的输入，沿轴指示的轴进行转换，如果未指定轴，则为最后一个轴。

示例：

import numpy as np

t = np.arange(8) / 8
a = np.fft.fft(np.exp(2j * np.pi * t))
print(a)

[-3.44509285e-16+1.22464680e-16j  8.00000000e+00-8.11483250e-16j
  3.44509285e-16+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+1.22464680e-16j
  9.95799250e-17+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+7.66951701e-17j
 -9.95799250e-17+1.22464680e-16j  0.00000000e+00+1.22464680e-16j]

3. np.fft.fft2()

numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None)：计算二维离散傅里叶变换。

此函数通过快速傅里叶变换 (\(FFT\)) 计算 \(M\) 维数组中任意轴上的 \(2\) 维离散傅里叶变换。默认情况下，变换是在输入数组的最后两个轴上计算的，即二维 \(FFT\)。

参数：

• a：输入数组。
• s：整数序列，可选。

​ 输出的形状(每个变换轴的长度)(\(s[0]\) 指轴 \(0\)，\(s[1]\) 指轴 \(1\))。

​ 如果 \(n\) 小于输入的长度，则裁剪输入。如果 \(n\) 小于输入的长度，则用 \(0\) 填充。未给出 \(n\)，则使用沿轴指定的轴的输入长度。

• axes：整数序列，可选。

​ 计算 \(FFT\) 的轴。如果未给出，则使用最后两个轴。

• norm：标准化模式。取值为{“backward”, “ortho”, “forward”}。默认设置是backward。指示缩放前向/后向转换对应的哪个方向以及使用什么标准化因子。

返回：

• 截断或补零的输入，沿轴指示的轴进行转换，如果未指定轴，则为最后两个轴转换。

示例：

import numpy as np

a = np.mgrid[:5, :5][0]
print(a)
print(np.fft.fft2(a))

[[0 0 0 0 0]
 [1 1 1 1 1]
 [2 2 2 2 2]
 [3 3 3 3 3]
 [4 4 4 4 4]]

[[ 50.  +0.j           0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5+17.20477401j   0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5 +4.0614962j    0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5 -4.0614962j    0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]
 [-12.5-17.20477401j   0.  +0.j           0.  +0.j
    0.  +0.j           0.  +0.j        ]]

4. np.fft.fftfreq

numpy.fft.fftfreq(n, d=1.0)：返回离散傅里叶变换采样频率。

参数：

• n：窗口长度。
• d：采样间隔。默认为 \(1\)。

返回：

• 长度为 \(n\) 的数组，包含采样频率。

返回浮点数组f包含频率单元中心，该频率单元中心以每单位采样间隔的周期为周期（开始为 \(0\)）。例如，样本间隔为秒，则频率单位为周期/秒。

给定窗口长度n和d：

示例：

import numpy as np
from numpy.fft import *

signal = np.array([-2, 8, 6, 4, 1, 0, 3, 5], dtype=float)
fourier = np.fft.fft(signal)
n, timestep = signal.size, 0.1            # 窗口长度n=8，采样间隔timestep=0.1
freq = np.fft.fftfreq(n, d=timestep)
print(freq)

[ 0.    1.25  2.5   3.75 -5.   -3.75 -2.5  -1.25]

5. np.fft.fftshift

numpy.fft.fftshift(x, axes=None)：将零频率分量移动到频谱中心。即中心化。

参数：

• x：输入数组。
• d：要移动的轴。默认为无，表示移动所有轴。

返回：

• 移动的数组。

示例：

freqs = np.fft.fftfreq(10, 0.1)
print(freqs)

print(np.fft.fftshift(freqs))

[ 0.  1.  2.  3.  4. -5. -4. -3. -2. -1.]

[-5. -4. -3. -2. -1.  0.  1.  2.  3.  4.]

仅沿第二轴移动零频分量。

freqs = np.fft.fftfreq(9, d=1./9).reshape(3, 3)
print(freqs)
print(np.fft.fftshift(freqs))				# 沿所有轴移动零频分量
print(np.fft.fftshift(freqs, axes=(1,)))	        # 沿第二轴移动零频分量

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]

[[-1. -3. -2.]
 [ 2.  0.  1.]
 [-4.  3.  4.]]

[[ 2.  0.  1.]
 [-4.  3.  4.]
 [-1. -3. -2.]]

6. np.fft.ifftshift

numpy.fft.ifftshift(x, axes=None)：去中心化。

freqs = np.fft.fftfreq(9, d=1./9).reshape(3, 3)
print(freqs)
print(np.fft.ifftshift(np.fft.fftshift(freqs)))

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]

[[ 0.  1.  2.]
 [ 3.  4. -4.]
 [-3. -2. -1.]]