解析了 Atcoder Regular Contest 123
u1s1 我是真的不知道为什么现场这么多人切了 D,感觉 D 对思维要求显然要高于其他 300+ 人切掉的 D 吧(也有可能是 Atc 用户整体水平提升了?)
A
开 幕 雷 击(这题似乎 wjz 交了 2 发,ymx 交了 3 发)
分类讨论,想到就很简单,想不到就很烦,反正条条大路通罗马,这种难度的题最后都能 A 掉:
-
如果 \(2b\le a+c\),且 \(a+c\) 为偶数,我们肯定会只对 \(b\) 进行 \(+1\) 操作,答案 \(\dfrac{a+c}{2}-b\)
-
如果 \(2b\le a+c\),且 \(a+c\) 为奇数,我们肯定会先选择对 \(a\)(或 \(c\))进行 \(+1\) 操作,再操作 \(b\),答案 \(\dfrac{a+c+1}{2}-b+1\)
-
如果 \(2b>a+c\),那么我们显然只会操作 \(a\)(或 \(c\)),答案 \(2b-a-c\)
B
tbh 感觉这个 B 比 A 简单(London Fog
首先将 \(a\) 数组从小到大排个序,然后每次贪心地找到 \(>a_i\) 的最小的 \(b_j\),再找到 \(>b_j\) 的最小的 \(c_k\),如果能找到这样 \(b_j,c_k\),答案就加一。感性理解一下可知该做法是正确的。
C
现场用了一个比较好想的方法,所以成为了现场第二十几(?)个过掉这道题的人。
首先注意到答案肯定不会太大,因此考虑枚举答案然后检验答案是否可行。
怎样检验答案是否可行呢?考虑一个 \(dp\),\(dp_{i,j,k}\) 表示填好了最低的 \(i\) 位,当前这一位进位为 \(j\),并且有 \(k\) 个数能够延伸到这一位是否可行,转移我们就考虑延伸到这一位上 \(k\) 个数拼出的和是多少,设为 \(s\),那么显然必须有 \(s\le 3k\) 且 \((s+j)\bmod 10\) 等于 \(n\) 第 \(i+1\) 低位上的数,如果 \(s\ge k\),那么可以转移到 \(dp_{i+1,\lfloor\frac{s+j}{10}\rfloor,k}\),否则应转移到 \(dp_{i+1,\lfloor\frac{s+j}{10}\rfloor,s}\),因为最多只有 \(s\) 个 \(\{1,2,3\}\) 中的数能够拼出 \(s\)。初始 \(dp_{0,0,ans}=1\)。
不知道标算给的什么做法
D
一道思维题。
首先看到上升、下降可以想到差分,我们设 \(A,B,C\) 的差分序列分别为 \(D,E,F\),那么原问题的约束条件等价于:
- \(A_1=B_1+C_1\)
- \(E_i\ge 0\)
- \(F_i\le 0\)
- \(D_i=E_i+F_i,i\in[1,n)\)
显然最后我们要最大化 \(B,C\) 中负数的和,因为 \(\sum\limits_{i=1}^nB_i+C_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i\),因此 \(\sum\limits_{i=1}^n|B_i|+|C_i|=\sum\limits_{i=1}^nA_i\) 减去 \(B,C\) 中负数之和的两倍。直接做显然不行,我们考虑挖掘一些性质。
Observation \(1\). 在最优方案中,一定有 \(E_i=\max(D_i,0),F_i=\min(D_i,0)\)
以 \(F_i\) 为例,由于 \(C_i\) 为不上升序列,因此我们可以找到一个分界点 \(i\) 满足 \(C_i>0\) 且 \(C_{i+1}\le 0\)(如果找不到那么 \(C\) 序列全部 \(>0\) 或全部 \(\le 0\),此时结论显然满足),那么我们固定住 \(C_i\) 的值,那么:
- 对于 \(i\) 右边的某个 \(j\),如果 \(F_j<\min(D_j,0)\),那么我们将 \(F_j\) 加 \(1\),那么此时 \(C_j,C_{j+1},\cdots C_n\) 都会 \(+1\),而显然它们都是负数,因此 \(C\) 序列中负数之和会加 \(n-j+1\),虽然这样会导致 \(E_j\) 减 \(1\),导致有的本来非负的 \(B_j\) 变为负数,但这样 \(B\) 序列中负数之和最多减少 \(n-j+1\),因此负数的总和还是不降的。
- 对于 \(i\) 左边某个 \(j\),如果 \(F_j<\min(D_j,0)\),那么我们将 \(F_j\) 加 \(1\),由于我们固定了 \(C_j\) 的值,因此此次操作带来的效果是 \(C_1,C_2,\cdots,C_j\) 全部减 \(1\),但由于它还是单调减序列,因此这些值依然大于 \(0\),不影响 \(C\) 中负数之和,而这样带来的副作用是 \(B_1,B_2,\cdots,B_j\) 全部加 \(1\),显然 \(B\) 序列中负数的和会不降,因此负数的总和不降
对于 \(E_i\) 也同理。
Observation \(2\). 在最优方案中,一定存在某个 \(E_i=0,F_i=0\)
证明:对于某个状态如果不存在 \(E_i=0\lor F_i=0\),那么记 \(c_1\) 为 \(B\) 序列中负数的个数,\(c_2\) 为 \(C\) 序列中负数的个数,那么:
- 如果 \(c_1>c_2\),将 \(B\) 序列向上平移直到某个值为 \(0\),答案更优
- 如果 \(c_1\le c_2\),将 \(C\) 序列向上平移直到某个值为 \(0\),答案不比之前更差
看出这两个性质之后,就可以枚举 \(0\) 的位置然后一通 xjb 计算了,由于我使用了二分,因此复杂度 \(n\log n\),不知道能不能优化到线性?
似乎这题有一车做法,标算还给了个 DP+斜率优化?而且我看了 4 个人现场 AC 的程序,他们竟然全写的三分 \(A_1\) 找极值?我直接 i 了 i 了!!!111
还是给个现场写的代码吧:
const int MAXN=2e5;
int n,a[MAXN+5],d[MAXN+5],e[MAXN+5],f[MAXN+5];
ll b[MAXN+5],c[MAXN+5],sb[MAXN+5],sc[MAXN+5];
int main(){
scanf("%d",&n);ll ans=-6e18;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<n;i++) d[i]=a[i+1]-a[i];
for(int i=1;i<n;i++) e[i]=max(d[i],0),f[i]=min(d[i],0);
for(int i=2;i<=n;i++) b[i]=b[i-1]+e[i-1],c[i]=c[i-1]+f[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) sb[i]=sb[i-1]+b[i],sc[i]=sc[i-1]+c[i];
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld%c",b[i]," \n"[i==n]);
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld%c",c[i]," \n"[i==n]);
for(int i=1;i<=n;i++){
ll b1=0-b[i];
ll sum=sb[i]+b1*i;
// printf("%d %lld %lld\n",i,b1,sum);
ll c1=a[1]-b1;
int l=1,r=n,p=n+1;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(c1+c[mid]<0) p=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
} sum+=sc[n]-sc[p-1]+c1*(n-p+1);
// printf("%lld\n",sum);
chkmax(ans,sum);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
ll c1=0-c[i];
ll sum=sc[n]-sc[i]+c1*(n-i);
// printf("%d %lld %lld\n",i,c1,sum);
ll b1=a[1]-c1;
int l=1,r=n,p=0;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(b1+b[mid]<0) p=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
} sum+=sb[p]+b1*p;
chkmax(ans,sum);
} ll s=0;
for(int i=1;i<=n;i++) s+=a[i];
printf("%lld\n",s-ans*2);
return 0;
}
E
考虑 \(F(x)=A_1+\lfloor\dfrac{x}{B_1}\rfloor,G(x)=A_2+\lfloor\dfrac{x}{B_2}\rfloor\),那么显然题目等价于 \(F(x)=G(x)\) 的个数。
注意到这东西啥性质也没有,既不成段分布也不是什么东西的倍数,直接计算又涉及到 \(B_1,B_2\) 两个周期,非常棘手,因此考虑另一个东西。我们设 \(f(x)=A_1+\dfrac{x}{B_1},g(x)=A_2+\dfrac{x}{B_2}\),那么对于 \(F(x)=G(x)\) 的 \(x\),\(f(x)\) 和 \(g(x)\) 肯定不能相差太多,具体来说:
- 如果 \(f(x)<g(x)-1\),那么 \(F(x)\) 不可能等于 \(G(x)\)
- 如果 \(g(x)-1\le f(x)\le g(x)\),那么 \(F(x)\in\{G(x)-1,G(x)\}\)
- 如果 \(g(x)\lt f(x)\le g(x)+1\),那么 \(F(x)\in\{G(x),G(x)+1\}\)
- 如果 \(f(x)>g(x)+1\),那么 \(F(x)\) 不可能等于 \(G(x)\)
我们考虑对中间两部分分别计算,以上面那种为例,我们求出 \(g(x)-1\le f(x)\le g(x)\) 的 \(x\) 组成的集合——显然是一个区间,用小学奥数的追及问题可以求出。那么考虑怎样求出 \(F(x)=G(x)\) 的个数,直接做还是不容易,因为两部分不独立,不过注意到 \(F(x)\) 只可能等于 \(G(x)-1\) 或 \(G(x)\),因此我们考虑对这个区间内 \(G(x)\) 的和减去 \(F(x)\) 的和——这必然可以得到 \(F(x)=G(x)-1\) 的 \(x\) 的个数,然后减一下即可直到 \(F(x)=G(x)\) 的 \(x\) 的个数。对于另外一半镜像即可。至于怎样求 \(\sum\limits_{i=l}^rF(x)\)……\(\sum\limits_{i=l}^rF(x)=A_1·(r-l+1)+\sum\limits_{i=1}^r\lfloor\dfrac{x}{B_1}\rfloor-\sum\limits_{i=1}^{l-1}\lfloor\dfrac{x}{B_1}\rfloor\),发现是 \(\sum\limits_{i=1}^x\lfloor\dfrac{i}{k}\rfloor\) 的形式,它显然等于 \(\sum\limits_{i=1}^x\dfrac{i-i\bmod k}{k}\),前面直接套等差数列求和,后面 \(i\bmod k\) 显然呈周期分布,求出每个周期的和,乘上周期个数,再加上最后的零头即可。
ll n,ax,bx,ay,by;
ll getsum(ll b,ll x){
ll sum=x*(x+1)/2,cnt=x/b,rem=x%b;
sum-=cnt*(b*(b-1)/2);sum-=rem*(rem+1)/2;
return sum/b;
}
ll calc(ll a,ll b,ll l,ll r){
ll res=a*(r-l+1);
res+=getsum(b,r);
res-=getsum(b,l-1);
return res;
}
void solve(){
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&ax,&bx,&ay,&by);
if(bx==by) return printf("%lld\n",(ax==ay)?n:0),void();
if(bx>by) swap(ax,ay),swap(bx,by);
ll l=(ll)ceil(1.0*(ay-ax-1)/(by-bx)*bx*by);
ll r=(ll)floor(1.0*(ay-ax)/(by-bx)*bx*by);
chkmax(l,1ll);chkmin(r,n);ll ans=0;
// printf("%lld %lld\n",l,r);
if(l<=r){
ll x_sum=calc(ax,bx,l,r);
ll y_sum=calc(ay,by,l,r);
// printf("%lld %lld\n",x_sum,y_sum);
ll dif=y_sum-x_sum;
ans+=(r-l+1)-dif;
}
l=(ll)ceil(1.0*(ay-ax)/(by-bx)*bx*by);if(l==r) ++l;
r=(ll)floor(1.0*(ay-ax+1)/(by-bx)*bx*by);
chkmax(l,1ll);chkmin(r,n);
// printf("%lld %lld\n",l,r);
if(l<=r){
ll x_sum=calc(ax,bx,l,r);
ll y_sum=calc(ay,by,l,r);
// printf("%lld %lld\n",x_sum,y_sum);
ll dif=x_sum-y_sum;
ans+=(r-l+1)-dif;
} printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
int qu;scanf("%d",&qu);
while(qu--) solve();
return 0;
}
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面