2023 年 NCAA 数学建模竞赛 C - 蔬菜商品的定价和补货决策
摘要
本文针对生鲜超市中蔬菜类商品的补货和定价策略问题，建立时间序列预测模型，以及目标规划分析，从而让生鲜超市的收益达到最大。
针对问题一，首先对数据进行处理，对销售量异常值进行剔除、对缺失值补0 处理，接着再基于附件1 与附件2 中的数据，将数据进行汇总整合，计算出每个品类以及每个单品的三年、每月和每天的总销售量，绘制柱状图，分析得到花叶类销售量最大；芜湖青椒( 这种单品的销量最大；再基于每天各品类和单品的蔬菜总销售量，建立S p earman 相关性分析模型得到各品类和单品的相关系数以及相关系数热力图，得出花菜类和花叶类，花叶类和辣椒类，花叶类和食用菌类，水生根茎类和食用菌类的相关性较强；大部分单品之间呈负相关或相关性较低。
针对问题二，首先进行数据预处理，剔除销售量的无效值后，将各蔬菜单品在三年内每天的定价进行求和再取平均得到各蔬菜单品的平均加成成本定价，根据各蔬菜单品的平均定价得出各品类对应单品每天成本加成定价，然后求出各品类每的销售总量，利用MATLAB 对处理后的数据进行拟合，找到蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系；接着在上述基础上，通过销售总量与成本加成定价的关系，可以利用时间序列预测出7 月1 7 日各品类的当天的销售总量。然后根据历史数据通过SPSSPRO 分别预测出各品类的定价和损耗率，最后由损耗率和销售量的关系，得出7 月1 7 日的补货量。最终根据收益、成本、损耗和销售之间的关系求出7 天最大收益值为927.8732 、826.8073 、762.2481 、841.844 、899.8013 、871.4138 、884.3781 。
针对问题三，首先对数据进行预处理，将各单品每天的销售量、单品总平均利润、单品总销售次数、单品损耗率四项指标进行剔除异常值和缺失值填补，接着利用TOPSIS 综合评价对所有单品进行分析，找出综合排名在前3 1 的单品作为作为7 月1 日的可售单品，然后根据M ATLAB 拟合出单品销售与平均定价的函数关系，根据当日利润 营业额 成本，得到各单品销售额、平均定价、平均成本价、损耗率之间的关系，化简得到目标函数，根据题中约束条件，求出商超收益为528.189 元。
针对问题四，本文将从盛产时间段、竞争对手的价格和策略数据、消费者的反馈三个方面展开描述，从盛产时间段分析，需要收集商超所有销售蔬菜单品在商超属地的盛产时间段，使生鲜超市更加充分分析市场供需关系，调整补货量和设定定价策略；从竞争对手的价格数据分析，需要收集该地区同类型商超的菜品价格，从而清楚自身的优势，并适当调整价格；从消费者反馈分析，需要收集消费者质量与满意程度调查问卷，从而对消费者提出的问题进行改进。
最后，本文的研究成果，对生鲜商超合理制定经营计划，提高利润率有一定的指导意义。
关键词：Spearman 相关性分析 时间序列 TOPSIS 综合评价 目标规划
一、 问题重述
1.1 问题背景
国以民为本，民以食为天。许多消费者往往会选择物美价廉的生鲜超市作为购买场所，但是生鲜超市中的蔬菜类的保鲜期都很短，品相也会随出售时间的增加而变差，大部分品种只能在当天售出 1 。因此，生鲜超市一般会根据以往的经验和数据进行适当的补货。
由于生鲜超市的蔬菜种类众多，产地也可能不同，但是蔬菜的进货时间通常在凌晨，因此商家要在不清楚具体的单品和进价的情况下，做出补货决策。同时也要根据消费者的需求制定合理的定价决策，提高生鲜超市的销售额。
1.2 问题提出
附件1 给出某生鲜超市6 种蔬菜品类的信息，附件2 和附件3 分别给出了一段时间的各商品销售流水明细与批发价格数据，附件4 给出了蔬菜商品最近的损耗率数据，根据附件数据相关信息建立模型，解决以下四个问题：
针对问题一：蔬菜类商品的种类和单品可能存在一定的相关性，描述蔬菜各个种类及单品销售量的分布规律，并分析他们各自之间的相互关系。
针对问题二：考虑生鲜超市以蔬菜种类为单位做补货计划，根据各蔬菜种类的销售总量与成本加成定价，分析出他们的关系，并预测各蔬菜品类未来一周的日补货总量和定价决策，使得生鲜超市能够获得最大收益。
针对问题三：蔬菜类的商品的销售空间是有限的，生鲜超市进一步制定单品的补货计划，在满足市场消费者的需求的前提下，将可销售的单品总数控制在2 7
33 个，且各单品订购量满足最小陈列量2 .5 千克的要求。依据2 023 年6 月2 4
30 日的可销售品种，给出7 月1 日的单品补货量和定价策略，使得生鲜超市能获得最大的收益。
针对问题四：想要更好地制定蔬菜商品的补货和定价决策，生鲜超市还需要哪些与之相关的数据，并说出这些数据能够解决什么问题，给出意见和理由。
二、 问题分析
2.1 问题一的分析
针对问题一，可以拆分为两个大的小问题，其一是探讨蔬菜各品类及单品销售量的分布规律，其二是探讨蔬菜各品类及单品销售量的相互关系。对于分布规律问题，首先对附件2 三年来各品类的销售量进行汇总统计并求出总销售总量，利用S PSSPRO 绘制出柱状图以及双轴图得到分布规律，接着利用excel 处理出2020 年7 月 2023 年6 月的各单品销售情况，利用SPSSPRO 绘制出各单品销售总量波形图；再根据所得到的图表进行分析。
对于相互关系问题，首先将三年来每一天各品类和各单品的总销售量进行统计，利用S PSSPRO 中的建立Spearman 相关性分析模型 2 ]]，得到各品类的相关系数和相关系数热力图，以及各单品的相关系数，随机抽取1 0 个单品进行结果分析。
2.2问题二的分析
针对问题二，该问题分为两个小问，其一是求各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系，首先进行数据预处理，删除无效值后，将各蔬菜单品在三年内每天的定价进行求和再取平均得到各蔬菜单品的平均加成成本定价，根据各蔬菜单品的平均定价可以得各品类对应每天成本加成定价，然后求出各品类每的销售总量，利用MATLAB 对处理后的数据进行拟合，即可得各蔬菜品类的总销售量和成本加成定价的关系。
其二预测2023 年7 月1-7 日的日补货总量和定价策略取何值时，能使得商超收益最大。是在上述基础上，通过销售总量与成本加成定价的关系，可以利用时间序列预测出7 月1-7 日各品类的当天的销售总量。然后根据历史数据通过SPSSPRO 分别预测出各品类的定价和损耗率，最后由损耗率和销售量的关系，得出7 月1-7 日的补货量。最终根据收益、成本、损耗和销售之间的关系求出收益值。
2.3 问题三的分析
针对问题三，该问题探究7 月1 日的单品补货量和定价策略取何值时，商超收益最大。这里我们先统计出6 月24 日到30 日所有可销售的单品品种，然后设定单品总销售量、单品总平均利润、单品总销售次数、单品损耗率作为指标，利用TOPSIS 对所有可销售单品进行分析。根据所设定的评价指标，确定相关的矩阵运算，然后将负向指标归一为正向指标，并且将所有指标数据进行无量纲化处理，求解最优解和最劣解，确定各个因素指标与最优值和最劣值之间的距离，得到排序结果，选取排名在前31 位的单品作为7 月1 日需补货的单品。接着分别拟合31 种单品销售总量与平均定价的函数关系，然后根据利润等于营业额与总成本的差得出各单品销售额、平均定价、平均成本价、损耗率之间的关系，然后各单品总销售量与平均定价的关系代入，化简后可得目标函数，然后根据题目要求列出约束条件，即可求得当商超收益最大时，单品补货量和定价策略。
2.4 问题四的分析
针对问题四，本文可以从盛产时间段、竞争对手的价格和策略数据、消费者的反馈三个方面展开描述，从盛产时间段分析，需要收集商超所有销售蔬菜单品在商超属地的盛产时间段，使生鲜超市更加充分分析市场供需关系，调整补货量和设定定价策略；从竞争对手的价格数据分析，需要收集该地区同类型商超的菜品价格，从而清楚自身的优势，并适当调整价格；从消费者反馈分析，需要收集消费者质量与满意程度调查问卷，从而对消费者提出的问题以及节假日需要的打折活动进行进。
三、 基本假设
本文提出以下合理假设：
1. 预测时间段内没有发生自然灾害的影响；
2. 在运输过程中损坏的蔬菜不能在进行销售；
四、 符号说明
五、 问题一模型的建立与求解
5.1 数据预处理
5.1.1 数据整合
首先用excel 将附件2与附件1合并，检索出附件2表格中编号所对应的菜品，以及所属的菜品类别。
5.2 各品类分布规律
首先通过excel 计算出将各个蔬菜品类2020年7月1日至2023年6月30日的销售总量，计算结果如表1和图1所示：
由上表和图可知，2020 年7 月1 日至2023 年6 月30 日花叶类的产品销量最多。
接着，本文将2020 年7 月1 日至2023 年6 月30 日中每个月的各个蔬菜品类销售总量计算出来，得到以下三个图：
最终由以上三个双轴图并结合图1得到以下结论：
1. 三年以来每个月的花叶类都是在各蔬菜品类中销售量为最多的。水生根茎类蔬菜4 月 6 月销量少，而花菜类、辣椒类四季分布均匀，需求量较为平稳。这可能与花叶类的蔬菜产量大有关，大部分是露天种植
2. 同时茄类蔬菜在图形中可以看出，一般是在秋冬季达到销量的最低阈值，而食用菌类蔬菜则是秋冬季销量高，夏季销量少。
3. 通过百度检索 4 和调研并结合上述11，2 结论，可以发现销量生鲜市场的各品类蔬菜的销售量确实与各品类蔬菜盛产时间相关，但是可能是由于科学技术的进步（即大棚蔬菜等技术生产方法），使得各个时段的销量突出性不是十分的明显。
5.3 各单品分布规律
5.3.1 数据处理
本文首先用excel 处理出附件2 中24 7 个蔬菜单品的各个销售总量，并将算出的24 7 个蔬菜单品从高到低进行排序，具体排序结果见数据1 。
5.3.2 图表分析
根据上述excel 表格中整合出的单品总销售量，通过S PSSPRO 绘制出了单品销售总量的波形图，如图5 所示：
由上图可以看出，在所有的单品中，是只有部分的蔬菜单品的销量是突出的，由于蔬菜单品众多，且极大部分蔬菜单品3 年的销售总量可以忽略不计，所以大部分单品不予考虑。而本文只选取3 年总销售量排名前10 的蔬菜单品进行分析，如表4 所示：
由上表可知消费者三年以来对于辣椒类中的青椒、花菜类的西兰花、水生根茎类的净藕和花叶类的大白菜和生菜的需求量大，购买力强。
5.4 Spearman 相关性分析
5.4.1 蔬菜各品类相关性分析
蔬菜各品类销售量的相互关系，通过excel的数据透视图工具，将每一天蔬菜各品类销售量的综合筛选出来，然后通过SPSSPRO，利用Spearman 做相关系数热力图，如图6所示，得出蔬菜6个品类之间的关系
由图可知，花菜类和花叶类，花叶类和辣椒类，花叶类和食用菌类，水生根茎类和食用菌类的相关性较强。本文认为消费者可能会同时购买这两类蔬菜，例如：消费者喜欢吃小白菜炒辣椒，购买时，就会同时购买辣椒和小白菜这两种蔬菜，导致了花叶类和辣椒类相关性较强。
5.4.2蔬菜各单品相关性分析
蔬菜各单品销售量的相互关系，通过excel的数据透视图工具，将每一天蔬菜各单品销售量的筛选并汇总，然后通过SPSSPRO，建立Spearman相关性分析模型，得到相关系数表，具体相关系数表见数据2 。
正文只随机抽取了10个单品，每月销量基本不为零且销售量大，随机选取的单品的如下：
续表：
根据上表的相关系数可以看出，大部分单品之间呈负相关或相关性较低，只有少部分的单品之间相关系数较大，存在相关性，例如：杏鲍菇与红杭椒的相关系数为0 .762，比其他单品之间的相关系数大，说明消费者在购买红杭椒的同时，极大可能会购买杏鲍菇(1)；东门口小白菜与西兰花的相关系数为 0.559，呈负相关，说明消费者在购买蔬菜的时候，东门口小白菜和西兰花这两种单品一次只会购买其中的一种。
六、 问题二模型的建立与求解
6.1 销售总量与成本加成定价的关系
6.1.1 成本加成定价具体概念
成本加成定价是按菜品单位成本加上一定比例的利润，从而制定产品价格的方法。也就是在菜品成本上增加一部分盈利的方法。即：价格 单位成本 单位成本×成本利润率 单位成本（1+ 成本利润率）。
6.1.2 数据处理
首先对数据进行处理，剔除无效值（即对品类定价影响小且三年销售量极少的蔬菜种类）。对各种蔬菜单品的定价求三年平均值确定其蔬菜单品平均定价，
6.2 时间序列预测
6.2.1 数据处理
6.2.2 预测未来一周日补货量
七、 问题三模型的建立与求解
7.1 数据处理
7.2 建立TOPSIS 综合评价模型
7.3 单品销售总量与成本加成定价的关系
7.3.1 数据处理
7.4 建立多目标优化函数
八、 问题四模型的建立与求解
8.1 盛产时间段分析
商超应该还要收集该商超所有销售蔬菜单品在商超属地的盛产时间段。
原因：蔬菜是季节性农产品，对于一个蔬菜单品来说会有早熟、正值盛产期以及晚熟三种情况。一种蔬菜当地属早熟早期进入市场，可能会出现供不应求的情况，此时可以调整相应的售价来提高利润。而在盛产或者是晚熟期间进入市场，可能会出现供过于求的情况，所以需要降低售价、减少利润来达到倾销的效果。因此，商超需要收集该商超所有销售蔬菜单品在商超属地的盛产时间段，能够让商超更加充分分析市场供需关系，调整补货量和设定定价策略，以求利润达到最大值。
8.2 竞争对手的价格和策略数据分析
从竞争超市价格方面，商超需采集各生鲜类竞争超市定价和利润数据。
理由：在蔬菜配送行业中，存在着许多竞争对手，生鲜超市需要根据市场竞争的激烈程度来制定定价策略。如果市场上有较多的竞争对手，生鲜超市可能需要采取低价或打折策略来吸引消费者。另一方面，如果该生鲜超市品牌影响力较大，能够根据自身优势进行定价，并获得更高的利润。
8.3 消费者反馈
通过问卷调查的方式收集消费者的对菜品新鲜度、品质、价格的反馈和意见。
理由：生鲜超市属于服务型企业，面向的是全体消费者，所以对于消费者的意见是极为重要的，就消费者提出来的意见进行整改以及根据节假日对蔬菜进行打折销售，赢得消费者的信赖。
九、 评价和改进方向
