【笔记】平面
一、平面及其方程（3个条件，4种表达）
F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z)为平面方程：
- 在这个平面上的点满足 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0
- 不在这个平面上的点不满足 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0
归根结底，就是要三个点。变化有很多，可能是三个平面内的点，也可能是截点，也可能连成平面内线段后确定法向搞点法式
1.点法式
用平面法线和平面上的一个向量来确定平面。
平面方程： a ( x 0 − x ) + b ( y 0 − y ) + c ( z 0 − z ) = 0 a(x_0-x)+b(y_0-y)+c(z_0-z)=0 a(x0−x)+b(y0−y)+c(z0−z)=0
P Q ⋅ n = 0 \mathbf{PQ}\cdot \mathbf n=0 PQ⋅n=0
- 法线 n = ( a , b , c ) \mathbf{n}=(a,b,c) n=(a,b,c)
- 法线和平面交点 Q = ( x 0 , y 0 , z 0 ) Q=(x_0,y_0,z_0) Q=(x0,y0,z0)
- 平面上其他一点 P = ( x , y , z ) P=(x,y,z) P=(x,y,z)
- P Q = ( x 0 − x , y 0 − y , z 0 − z ) \mathbf{PQ}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z) PQ=(x0−x,y0−y,z0−z)
2.一般式
A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0
3.三点式
用平面上不共线的三点确定一个平面。
已知： A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , C ( x 3 , y 3 , z 3 ) A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3) A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，在平面上任取一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)
P A = ( x 1 − x , y 1 − y , z 1 − z ) \mathbf{PA}=(x_1-x,y_1-y,z_1-z) PA=(x1−x,y1−y,z1−z)
A B = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \mathbf{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) AB=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
A C = ( x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 ) \mathbf{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1) AC=(x3−x1,y3−y1,z3−z1)
[
P
A
,
A
B
,
A
C
]
=
0
[\mathbf{PA},\mathbf{AB},\mathbf{AC}]=0
[PA,AB,AC]=0
(
x
1
−
x
y
1
−
y
z
1
−
z
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
z
2
−
z
1
x
3
−
x
1
y
3
−
y
1
z
3
−
z
1
)
=
0
\left(\begin{array}{l} x_1-x&y_1-y&z_1-z\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{array} \right)=0
x1−xx2−x1x3−x1y1−yy2−y1y3−y1z1−zz2−z1