拉普拉斯频域滤波器等同于高斯高通滤波器

拉普拉斯

先看空域的拉普拉斯核

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》P101

观察频率响应函数，显然是高通滤波器。下面两种情况就是相差一个符号。

空域中从一个单位冲激中减去一个低通核产生一个高通核。$1-高斯低通=8邻域拉普拉斯$，与上面的相差$-1/8$的系数。

实际上就是一个抛物面，系数控制增益。注意只考虑了两个方向，在推导过程中，对角方向不容易引入。

拉普拉斯频域滤波器计算ifft就是空域模板。

截取中心$3\times 3$。

频率响应

截取中心$5\times 5$。


越完整越逼近，总之是一个高通滤波。

三种空域的拉普拉斯模板

三种空域的拉普拉斯模板的频率响应（调整了系数，为了和对应的三种平滑模板互补）。第一种是四方向的。


后两个是8方向的。




毕竟离散化了，但是样子还是像的。最后一个就是那个和高斯平滑模板互补的。

高斯频域滤波器

频域中不常使用高斯滤波器，主要是因为高斯函数在频域中的频率响应不是理想的。在频域中，高斯函数的频率响应是指数衰减的形式，而不是严格的截止或带通特性。这意味着高斯滤波器在频域中无法提供明确的截止频率或带通范围。

一看就不是一个好的频域滤波器，陡度太小了。

拉普拉斯频域滤波器与所谓高斯高通滤波器之间的关系

函数 $e^{-x^2}$ 的泰勒展开（或称为麦克劳林级数，因为它是在 $x=0$ 处展开的）可以基于 $e^x$ 的已知泰勒级数来推导。$e^x$ 的泰勒级数为：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

将 $-x^2$ 替换 $x$ 得到 $e^{-x^2}$ 的泰勒级数：

$$e^{-x^2}=1+(-x^2)+\frac{(-x^2{)}^2}{2!}+\frac{(-x^2{)}^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-x^2{)}^n}{n!}$$

简化上述表达式：

$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\cdots$$

或者写作：

$$e^{-x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{n!}$$

这是 $e^{-x^2}$ 在 $x=0$ 处的泰勒级数展开。这个级数在所有实数 $x$ 上都是收敛的。

结论，$$1-e^{-D^2}\approx D^2$$。

所以所谓的高斯高通通过泰勒展开，在近似的情况下，与拉普拉斯频域滤波器等价。图中是差得远些，$D_0<1$的情况下余项的值较大。理论上近似。

$D_0>1$越来越接近。

写在后面的话

某人构造出一个指数滤波器。


模拟滤波器都有阶数$N$。这样的构造可以不同的$N$都过同一点。我想是这个原因某人就构造出一个指数低通滤波器，以及相应的高通滤波器。


先不说$1$减去指数函数就不是指数函数了，$1$减去高斯函数也不是高斯了。这有两个最大的问题。

第一，截止频率。

巴特沃斯模拟低通滤波器，由幅值平方函数定义，在截止频率处幅值从最大值下降到它的 0.707，经典的3db。冈萨雷斯直接写高斯低通滤波器，分母有个2，这样截止频率0.607，比不上巴特沃斯的0.707，但是超过0.5了。图中$D_0=0.3$。但是如果没有这个$2$，截止频率处下降到多少呢？

所以这样的指数滤波器有何用？分布就是分布，原来一个不起眼的$2$，居然还很有用。

第二，低通与高通的截止频率。

与巴特沃斯比比看，截止频率都处于-3db。


无论是高斯还是拉普拉斯在频域都不会使用，但至少可以做空域的解释，这个指数滤波器就离谱了。