每日一练：改变 II

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

题目要求：

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

解法-1 动态规划 O(N^2)：

        这是一道典型的完全背包问题，dp[i][j]的推导过程如下：

        将dp[i][j-coins[i]]按上面展开，它的值就等于上述选择coins[i]的情况的总和。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(amount+1));
        for(int i = 0;i <= n;i++) dp[i][0]=1;

        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 1;j <= amount;j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                // 因为结果保证不超过32bit，所以计算过程中大于32bit的数值直接丢弃
                if(j >= coins[i-1] && (long long)dp[i][j]+dp[i][j-coins[i-1]]<=INT_MAX)
                    dp[i][j] += dp[i][j-coins[i-1]];
            }
                
        return dp[n][amount];
    }
};

        优化-滚动数组：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        
        vector<int> dp(amount+1);
        dp[0]=1;

        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = coins[i-1];j <= amount;j++)
            {
                // 因为结果保证不超过32bit，所以计算过程中大于32bit的数值直接丢弃
                if((long long)dp[j-coins[i-1]]+dp[j]<=INT_MAX)
                    dp[j] += dp[j-coins[i-1]];
            }
                
        return dp[amount];
    }
};