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解决问题：计算逆序对

最编程 2024-10-17 07:16:27
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题解：逆序对的计算

题目分析

逆序对问题是一个典型的排序问题，其核心在于计算一个数组中有多少对元素不满足排序的顺序。具体来说，对于数组中的任意两个元素 (a_i) 和 (a_j)，如果 (i < j) 且 (a_i > a_j)，则称 ((a_i, a_j)) 为一个逆序对。本题的目标是计算给定数组中所有逆序对的总数。

算法选择

对于这个问题，我们不能简单地使用两层循环来比较每一对元素，因为这样会导致时间复杂度为 (O(n^2))，对于较大的 (n) 值（如 (n \leq 5 \times 10^5)），这种方法将非常低效。因此，我们需要一种更高效的算法。

一个常用的方法是使用归并排序的思想来解决这个问题。归并排序的时间复杂度为 (O(n \log n))，远优于简单的比较方法。在归并排序的过程中，我们可以计算出每次合并操作产生的逆序对数量，从而得到总数。

算法实现

  1. 初始化：首先，我们使用 StreamTokenizer 来快速读取输入的数组元素，并存储在数组 arr 中。

  2. 归并排序：我们定义了一个 msort 方法来实现归并排序。这个方法接受两个参数 s 和 e，表示当前要处理的数组段的起始和结束索引。

  3. 递归分割：如果当前段只有一个元素（即 s == e），则不需要进一步处理。否则，我们将当前段分为两部分，并对每部分递归调用 msort 方法。

  4. 合并与计数：在合并两个已排序的段时，我们使用三个指针 i、j 和 k 分别指向两个段的当前元素和合并后段的当前位置。对于每对元素，我们比较它们的值，并根据比较结果决定将哪个元素放入合并后的段中。如果从右侧段取出的元素（arr[j]）小于从左侧段取出的元素（arr[i]），则意味着左侧段中所有尚未处理的元素都与 arr[j] 形成逆序对，因此我们将这些逆序对的数量加到答案 ans 中。

  5. 数组复制：合并完成后，我们将临时数组 c 中的元素复制回原数组 arr 的相应位置。

  6. 输出结果：最后，我们将计算得到的逆序对总数 ans 输出。

代码实现

package demo1016;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.StreamTokenizer;

public class 逆序对 {
    static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(in);
    static int[] arr = new int[500010];
    static int[] c = new int[500010];
    static long ans = 0;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        st.nextToken();
        int n = (int) st.nval;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            st.nextToken();
            arr[i] = (int) st.nval;
        }
        msort(1, n);
        out.write(ans + "");
        out.flush();
    }

    private static void msort(int s, int e) {
        if (s == e) {
            return;
        }
        int mid = s + (e - s) / 2;
        int i = s, j = mid + 1, k = s;
        msort(s, mid);
        msort(mid + 1, e);
        while (i <= mid && j <= e) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                c[k++] = arr[i++];
            } else {
                c[k++] = arr[j++];
                ans += mid - i + 1;
            }
        }
        while (i <= mid) {
            c[k++] = arr[i++];
        }
        while (j <= e) {
            c[k++] = arr[j++];
        }
        for (int l = s; l <= e; l++) {
            arr[l] = c[l];
        }
    }
}

注意事项

  • 确保数组 arr 和 c 的大小足够大，以避免数组越界的错误。
  • 在实际应用中，可能需要对输入输出进行异常处理，以确保程序的健壮性。
  • 本算法的时间复杂度为 (O(n \log n))，适用于处理大量数据。

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