[图形] 蒙特卡罗积分法及其方差计算导论-II。

1. 介绍

蒙特卡洛积分算法是一种数值积分算法，用于对复杂函数进行积分。
例如，对于目标积分函数：
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$f(x)$很复杂，无法找到解析解。我们可以在$f(x)$的定义域$[a,b]$上按照任意的概率密度函数$p(x)$进行采样。并统计采样的随机变量的样本期望：
$$F_N=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(x_i)}{p(x_i)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
可以保证：
$$E(F_N)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}\text{\hspace{1em}(3)}$$

2. 证明

下面证明公式(3)的正确性：
$$\begin{gathered} E(F_N)=E(\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(x_i)}{p(x_i)}) \\ =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{i=N}E(\frac{f(x_i)}{p(x_i)}) \end{gathered}$$
我们令$g(x)=\frac{f(x)}{p(x)}$，那么
$$\begin{gathered} E(F_N)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{i=N}E(g(x)) \\ =\frac{1}{N}\ast N\ast {\int }_{}^{}g(x)\ast p(x)\mathrm{d}\mathrm{x} \\ =\int g(x)\ast p(x)\mathrm{d}x \\ =\int f(x)\mathrm{d}\mathrm{x}\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
求证得证。