深入理解矩阵特征分解：推导、手算与Python实现，以及对称矩阵特性解析

文章目录

• 1. 前言
• 2.矩阵的进阶知识

• 2.1 特征分解（谱分解）=>只可以用在方阵上

• 2.1.1 特征分解的原理
• 2.1.2 特征分解的合理性
• 2.1.3 特征分解的计算
• 2.1.4 对称矩阵的特征分解（这个性质后面SVD推导用到）

1. 前言

要学会矩阵的特征分解，可以提前看矩阵的一些基础知识：

2.矩阵的进阶知识

2.1 特征分解（谱分解）=>只可以用在方阵上

2.1.1 特征分解的原理

如果说一个向量是方阵的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

• 这种形式在数学上的含义：描述的是矩阵对向量的变换效果只有拉伸，没有旋转。(因为这个值是一个数值)
• 这时候就被称为特征向量对应的特征值

也可以看成矩阵，向量，系数这三者建立了一种联系，但显然我们无法通过式(2-1)来用和 表示，因为这个式子不是完备的，对于一个秩为 的矩阵，应该存在个这样的式子，完备式子应该是：

根据公式(2-2)就可以得到矩阵的特征分解公式：

• 矩阵的一组特征向量是一组正交向量。
• 其中是这个矩阵的特征向量组成的矩阵，

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