玩转R语言:高级开发篇 A - 1.2 R中的数学运算
本节书摘来华章计算机出版社《R的极客理想——高级开发篇 A》一书中的第1章,第1.2节,作者:张丹 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。
1.2 R语言中的数学计算
问题
如何用R语言进行数学计算?
引言
R语言是统计语言,生来就对数学有良好的支持,用R语言做数学的计算题特别方便。如果计算器中能嵌入R语言的计算函数,那么绝对是一种高科技产品。我真的把R语言当成我的计算器了!
1.2.1 基本计算
R语言对数学计算有着非常好的支持,本节将完整介绍初等数学中的各种计算操作。
本节的系统环境是:
Windows 7 64bit
R: 3.1.1 x86_64-w64-mingw32/x64 (64-bit)
用R语言实现四则运算操作,包括加、减、乘、除、余数、整除、绝对值、判断正负。
> a<-10;b<-5 # 定义2个变量
> a+b;a-b;a*b;a/b # 加减乘除
[1] 15
[1] 5
[1] 50
[1] 2
> a%%b;a%/%b # 余数,整除
[1] 0
[1] 2
> abs(-a) # 绝对值
[1] 10
> sign(-2:3) # 判断正负
[1] -1 -1 0 1 1 1
用R语言实现数学计算操作,包括幂、自然常数e的幂、平方根、对数。
> a<-10;b<-5;c<-4 # 定义3个变量
> c^b;c^-b;c^(b/10) # 幂运算
[1] 1024
[1] 0.0009765625
[1] 2
> exp(1) # 取自然常数e
[1] 2.718282
> exp(3) # 自然常数e的幂
[1] 20.08554
> sqrt(c) # 平方根
[1] 2
> log2(c) # 以2为底的对数
[1] 2
> log10(b) # 以10为底的对数
[1] 0.69897
> log(c,base = 2) # 自定义底的对数
[1] 2
> log(a,base=exp(1)) # 自然常数e的对数
[1] 2.302585
> log(a^b,base=a) # 指数对数操作
[1] 5
> log(exp(3))
[1] 3
用R语言实现比较计算操作,包括==、>、<、!=、<=、>=、isTRUE、identical。
> a<-10;b<-5 # 定义2个变量
> a==a;a!=b;a>b;a<b;a<=b;a>=c # 比较计算
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] FALSE
[1] FALSE
[1] TRUE
> isTRUE(a) # 判断是否为TRUE
[1] FALSE
> isTRUE(!a)
[1] FALSE
> identical(1, as.integer(1)) # 精确比较两个对象
[1] FALSE
> identical(NaN, -NaN)
[1] TRUE
> f <- function(x) x
> g <- compiler::cmpfun(f)
> identical(f, g)
[1] TRUE
用R语言实现逻辑计算操作,包括&、|、&&、||、xor。
> x<-c(0,1,0,1) # 定义2个向量
> y<-c(0,0,1,1)
> x && y;x || y # 只比较向量的第一个元素 &&, ||
[1] FALSE
[1] FALSE
> x & y;x | y # S4对象的逻辑运算,比较所有元素 &, |
[1] FALSE FALSE FALSE TRUE
[1] FALSE TRUE TRUE TRUE
> xor(x,y) # 异或比较
[1] FALSE TRUE TRUE FALSE
> xor(x,!y)
[1] TRUE FALSE FALSE TRUE
用R语言实现约数计算操作,包括ceiling、floor、trunc、round、signif。
> ceiling(5.4) # 向上取整
[1] 6
> floor(5.8) # 向下取整
[1] 5
> trunc(3.9) # 取整数
[1] 3
> round(5.8) # 四舍五入
[1] 6
> round(5.8833, 2) # 四舍五入,并保留2位小数
[1] 5.88
> signif(5990000,2) # 四舍五入,保留前2位整数
[1] 6e+06
用R语言实现数组计算操作,包括求最大值、求最小值、范围、求和、均值、加权平均、连乘、差分、秩、中位数、分位数、任意数、全体数。
> d<-seq(1,10,2);d # 定义1个向量
[1] 1 3 5 7 9
> max(d);min(d);range(d) # 求最大值、最小值、范围range
[1] 9
[1] 1
[1] 1 9
> sum(d);mean(d) # 求和、均值
[1] 25
[1] 5
> weighted.mean(d,rep(1,5)) # 加权平均
[1] 5
> weighted.mean(d,c(1,1,2,2,2))
[1] 5.75
> prod(1:5) # 连乘
[1] 120
> diff(d) # 差分
[1] 2 2 2 2
> rank(d) # 秩
[1] 1 2 3 4 5
> median(d) # 中位数
[1] 5
> quantile(d) # 分位数
0% 25% 50% 75% 100%
1 3 5 7 9
> any(d<5);all(d<5) # 任意条件any,全体条件all
[1] TRUE
[1] FALSE
用R语言实现排列组合计算操作,包括阶乘、组合、排列。
> factorial(5) # 阶乘5!
[1] 120
> choose(5, 2) # 组合,从5个中选出2个
[1] 10
> combn(5,2) # 列出从5个中选出2个的所有组合项
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
[2,] 2 3 4 5 3 4 5 4 5 5
> for (n in 0:10) print(choose(n, k = 0:n)) # 计算0:10的组合个数
[1] 1
[1] 1 1
[1] 1 2 1
[1] 1 3 3 1
[1] 1 4 6 4 1
[1] 1 5 10 10 5 1
[1] 1 6 15 20 15 6 1
[1] 1 7 21 35 35 21 7 1
[1] 1 8 28 56 70 56 28 8 1
[1] 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
[1] 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
> choose(5, 2)*factorial(2) # 排列,从5个中选出2个
[1] 20
用R语言实现累积计算操作,包括累加、累乘、最小累积、最大累积。
> cumsum(1:5) # 累加
[1] 1 3 6 10 15
> cumprod(1:5) # 累乘
[1] 1 2 6 24 120
> e<-seq(-3,3);e # 定义一个向量
[1] -3 -2 -1 0 1 2 3
> cummin(e) # 最小累积cummin
[1] -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3
> cummax(e) # 最大累积cummax
[1] -3 -2 -1 0 1 2 3
用R语言实现两个数组的计算操作,包括取交集、并集、差集、数组是否相等、取唯一、查匹配元素的索引、找重复元素索引。
> x <- c(9:20, 1:5, 3:7, 0:8);x # 定义两个数组向量
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8
> y<- 1:10;y
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
> intersect(x,y) # 交集
[1] 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8
> union(x,y) # 并集
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 6 7 0 8
> setdiff(x,y) # 差集,从x中排除y
[1] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0
> setequal(x, y) # 判断是否相等
[1] FALSE
> unique(c(x,y)) # 取唯一
[1] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5
[18] 6 7 0 8
> which(x %in% y) # 找到x在y中存在的元素的索引
[1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(is.element(x,y)) # 同%in%
[1] 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28
[18] 29 30 31
> which(duplicated(x)) # 找到重复元素的索引
[1] 18 19 20 24 25 26 27 28 29 30
1.2.2 三角函数计算
1.?三角函数
在直角三角形中仅有锐角(大小在0~90度之间的角)三角函数的定义。给定一个锐角θ,可以做出一个直角三角形,使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中,θ的对边、邻边和斜边长度分别是a、b和h,如图1-3所示。
三角函数的6种关系:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
θ的正弦是对边与斜边的比值:sinθ=a/h
θ的余弦是邻边与斜边的比值:cosθ=b/h
θ的正切是对边与邻边的比值:tanθ=a/b
θ的余切是邻边与对边的比值:cotθ=b/a
θ的正割是斜边与邻边的比值:secθ=h/b
θ的余割是斜边与对边的比值:cscθ=h/a
三角函数的特殊值。
函数 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5/(12*π) π/2
sin 0 (-)/4 1/2 /2 /2 (+)/4 1
cos 1 (+)/4 /2 /2 1/2 (-)/4 0
tan 0 2- /3 1 2+ /
cot NA 2+ 1 /3 2- 0
sec 1 - 2/3 2 - /
csc NA 2 2/3 - 1 /
用R语言实现三角基本函数计算,包括正弦、余弦、正切。
> sin(0);sin(1);sin(pi/2) # 正弦
[1] 0
[1] 0.841471
[1] 1
> cos(0);cos(1);cos(pi) # 余弦
[1] 1
[1] 0.5403023
[1] -1
> tan(0);tan(1);tan(pi) # 正切
[1] 0
[1] 1.557408
[1] -1.224647e-16
接下来,我们用ggplot2包来画出三角函数的图形。
> library(ggplot2) # 加载ggplot2的库
> library(scales)
三角函数画图,以下代码生成三角函数曲线,如图1-4所示。
> x<-seq(-2*pi,2*pi,by=0.01) # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=sin(x),type=rep('sin',length(x))) # y坐标,正弦
> s2<-data.frame(x,y=cos(x),type=rep('cos',length(x))) # y坐标,余弦
> s3<-data.frame(x,y=tan(x),type=rep('tan',length(x))) # y坐标,正切
> s4<-data.frame(x,y=1/tan(x),type=rep('cot',length(x))) # y坐标,余切
> s5<-data.frame(x,y=1/cos(x),type=rep('sec',length(x))) # y坐标,正割
> s6<-data.frame(x,y=1/sin(x),type=rep('csc',length(x))) # y坐标,余割
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2, 2))
> g<-g+scale_x_continuous(breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),labels=c("-2*pi",
"-pi","0","pi","2*pi"))
> g
2.?反三角函数
基本的反三角函数定义如下。
反三角函数 定义 值域
arcsin(x) = y sin(y) = x -π/2 <= y <= π/2
arccos(x) = y cos(y) = x 0 <= y <= π,
arctan(x) = y tan(y) = x -π/2 < y < π/2
arccsc(x) = y csc(y) = x -π/2 <= y <= π/2, y!=0
arcsec(x) = y sec(y) = x 0 <= y <= π, y!=π/2
arccot(x) = y cot(y) = x 0 < y < π
用R语言实现反三角函数的计算,包括反正弦、反余弦、反正切。
> asin(0);asin(1) # 反正弦asin
[1] 0
[1] 1.570796 # pi/2=1.570796
> acos(0);acos(1) # 反余弦acos
[1] 1.570796 # pi/2=1.570796
[1] 0
> atan(0);atan(1) # 反正切atan
[1] 0
[1] 0.7853982 # pi/4=0.7853982
反三角函数画图,以下代码生成反三角函数曲线,如图1-5所示。
> x<-seq(-1,1,by=0.005) # x坐标
> s1<-data.frame(x,y=asin(x),type=rep('arcsin',length(x))) # y坐标,反正弦
> s2<-data.frame(x,y=acos(x),type=rep('arccos',length(x))) # y坐标,反余弦
> s3<-data.frame(x,y=atan(x),type=rep('arctan',length(x))) # y坐标,反正切
> s4<-data.frame(x,y=1/atan(x),type=rep('arccot',length(x))) # y坐标,反余弦
> s5<-data.frame(x,y=1/asin(x),type=rep('arcsec',length(x))) # y坐标,反正割
> s6<-data.frame(x,y=1/acos(x),type=rep('arccsc',length(x))) # y坐标,反余弦
> df<-rbind(s1,s2,s3,s4,s5,s6)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2画图
> g<-g+geom_line(aes(colour=type,stat='identity'))
> g<-g+scale_y_continuous(limits=c(-2*pi,2*pi),breaks=seq(-2*pi,2*pi,by=pi),
labels=c("-2*pi","-pi","0","pi","2*pi"))
> g
![image](https://yqfile.alicdn.com/8269218212fd14df42b9d9f87139effe0d2e4611.png)
3.?三角函数公式
接下来,用单元测试的方式来描述三角函数的数学公式,公式的左边等于公式的右边。通过testthat包进行单元测试,关于testthat包的安装和使用,请参考5.2节。
使用expect_that(right, left)函数,把公式的左右两边表达式,分别以参数形式传入函数中。运行expect_that()函数,如果没有返回结果则表示两个参数相等,如果有输出则根据输出查看原因。
library(testthat) # 加载testthat包
a<-5;b<-10 # 定义变量
平方和公式:
sin2(x)+cos2(x)=1
sin(a)^2+cos(a)^2
[1] 1
> expect_that(1, equals(sin(a)^2+cos(a)^2)) # 用单元测试的方法,判断公式是否两边相等
> expect_that(2, equals(sin(a)^2+cos(a)^2)) # 如果公式两边不相等,会有错误提示
Error: 2 not equal to sin(a)^2 + cos(a)^2
Mean relative difference: 1
和角公式:
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(b)sin(a)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(b)sin(a)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
和角公式的单元测试如下:
> expect_that(sin(a)*cos(b)+sin(b)*cos(a),equals(sin(a+b)))
> expect_that(sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a),equals(sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)-sin(b)*sin(a),equals(cos(a+b)))
> expect_that(cos(a)*cos(b)+sin(b)*sin(a),equals(cos(a-b)))
> expect_that((tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)),equals(tan(a+b)))
> expect_that((tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)*tan(b)),equals(tan(a-b)))
2倍角公式:
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
2倍角公式的单元测试如下:
> expect_that(cos(a)^2-sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*cos(a)^2-1,equals(cos(2*a)))
> expect_that(1-2*sin(a)^2,equals(cos(2*a)))
3倍角公式:
cos(3a)=4cos3(a)-3cos(a)
sin(3a)=-4sin3(a)+3sin(a)
3倍角公式的单元测试如下:
> expect_that(4*cos(a)^3-3*cos(a),equals(cos(3*a)))
> expect_that(-4*sin(a)^3+3*sin(a),equals(sin(3*a)))
半角公式:
半角公式的单元测试如下:
> expect_that(sqrt((1-cos(a))/2),equals(abs(sin(a/2))))
> expect_that(sqrt((1+cos(a))/2),equals(abs(cos(a/2))))
> expect_that(sqrt((1-cos(a))/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs(sin(a)/(1+cos(a))),equals(abs(tan(a/2))))
> expect_that(abs((1-cos(a))/sin(a)),equals(abs(tan(a/2))))
和差化积:
sin(a)cos(b)=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cos(a)sin(b)=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cos(a)cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sin(a)sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2
和差化积公式的单元测试如下:
> expect_that((sin(a+b)+sin(a-b))/2,equals(sin(a)*cos(b)))
> expect_that((sin(a+b)-sin(a-b))/2,equals(cos(a)*sin(b)))
> expect_that((cos(a+b)+cos(a-b))/2,equals(cos(a)*cos(b)))
> expect_that((cos(a-b)-cos(a+b))/2,equals(sin(a)*sin(b)))
积化和差:
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a+b)/2)
sin(a)-sin(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式的单元测试如下:
> expect_that(sin(a)+sin(b),equals(2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)))
> expect_that(sin(a)-sin(b),equals(2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)))
> expect_that(2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2),equals(cos(a)+cos(b)))
> expect_that(-2*sin((a+b)/2)*sin((a-b)/2),equals(cos(a)-cos(b)))
万能公式:
sin(2a)=2tan(a)/(1+tan2(a))
cos(2a)=(1-tan2(a))/(1+tan2(a))
tan(2a)=2tan(a)/(1-tan2(a))
万能公式的单元测试如下:
> expect_that(sin(2*a),equals(2*tan(a)/(1+tan(a)^2)))
> expect_that((1-tan(a)^2)/(1+tan(a)^2),equals(cos(2*a)))
> expect_that(2*tan(a)/(1-tan(a)^2),equals(tan(2*a)))
平方差公式:
sin(a+b)sin(a-b)=sin2(a)+sin2(b)
cos(a+b)cos(a-b)=cos2(a)+sin2(b)
平方差公式的单元测试如下:
> expect_that(sin(a)^2-sin(b)^2,equals(sin(a+b)*sin(a-b)))
> expect_that(cos(a)^2-sin(b)^2,equals(cos(a+b)*cos(a-b)))
降次升角公式:
cos2(a)=(1+cos(2a))/2
sin2(a)=(1-cos(2a))/2
降次升角公式的单元测试如下:
> expect_that((1+cos(2*a))/2,equals(cos(a)^2))
> expect_that((1-cos(2*a))/2,equals(sin(a)^2))```
辅助角公式:
辅助角公式的单元测试如下:
> expect_that(sqrt(a^2+b^2)*sin(a+atan(b/a)),equals(a*sin(a)+b*cos(a)))
**1.2.3 复数计算**
复数为实数的延伸,它使任一多项式都有根。复数中的虚数单位i,是-1的一个平方根,即i2=-1。任一复数都可表达为x + yi,其中x及y皆为实数,分别称为复数之“实部”和“虚部”。
1.?创建一个复数
ai<-5+2i;ai # 直接创建复数
[1] 5+2i
class(ai) # 查看复数的类型
[1] "complex"
> bi<-complex(real=5,imaginary=2);bi # 通过complex()函数创建复数
[1] 5+2i
is.complex(bi)
[1] TRUE
Re(ai) # 实数部分
[1] 5
Im(ai) # 虚数部分
[1] 2
Mod(ai) # 取模
[1] 5.385165 # sqrt(5^2+2^2) = 5.385165
Arg(ai) # 取辐角
[1] 0.3805064
Conj(ai) # 取轭
[1] 5-2i
2.?复数四则运算
加法公式:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
减法公式:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
乘法公式:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i
除法公式:(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c2+d2)
a<-5;b<-2;c<-3;d<-4
ai<-complex(real=a,imaginary=b)
bi<-complex(real=c,imaginary=d)
复数四则运算的单元测试如下:
expect_that(complex(real=(a+c),imaginary=(b+d)),equals(ai+bi))
expect_that(complex(real=(a-c),imaginary=(b-d)),equals(ai-bi))
expect_that(complex(real=(ac-bd),imaginary=(ad+bc)),equals(ai*bi))
expect_that(complex(real=(ac+bd),imaginary=(bc-ad))/(c^2+d^2),equals(ai/bi))
3.?复数开平方根
> sqrt(-9) # 在实数域,给-9开平方根
[1] NaN
Warning message:
In sqrt(-9) : NaNs produced
> sqrt(complex(real=-9)) # 在复数域,给-9开平方根
[1] 0+3i
**1.2.4 方程计算**
方程计算是数学计算的一种基本形式,R语言也可以很方便地帮助我们解方程,下面将介绍一元多次方程和二元一次方程的解法。解一元多次方程,可以用uniroot()函数。
1.?一元一次方程
一元一次方程:ax+b=0,设a=5,b=10,求x?
> f1 <- function (x, a, b) a*x+b # 定义方程函数
> a<-5;b<-10 # 给a,b常数赋值
> result <- uniroot(f1,c(-10,10),a=a,b=b,tol=0.0001) # 在(-10,10)的区间,精确度
# 为0.0001位,计算方程的根
> result$root # 打印方程的根x
[1] -2
一元一次方程非常容易解得,方程的根是-2!以图形展示函数:y=5x+10,如图1-6所示。
x<-seq(-5,5,by=0.01) # 创建数据点
y<-f1(x,a,b)
df<-data.frame(x,y)g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2来画图
g<-g+geom_line(col='red') # 红色直线
g<-g+geom_point(aes(result$root,0),col="red",size=3) # 点
g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x +",b))
g
![image](https://yqfile.alicdn.com/1c7be3fb31a038e8ceab47a7af5d040366030b5c.png)
图1-6 函数y=5x+10
2.?一元二次方程
一元二次方程:ax2+bx+c=0,设a=1,b=5,c=6,求x?
> f2 <- function (x, a, b, c) a*x^2+b*x+c
> a<-1;b<-5;c<-6
> result <- uniroot(f2,c(0,-2),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -2
把参数带入方程,用uniroot()函数,我们就解出了方程的一个根,改变计算的区间,我们就可以得到另一个根。
> result <- uniroot(f2,c(-4,-3),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
> result$root
[1] -3
方程的两个根,一个是-2,一个是-3。
由于uniroot()函数每次只能计算一个根,而且要求输入的区间端点值必须是正负号相反的。如果我们直接输入(-10,0)这个区间,那么uniroot()函数会出现错误。
> result <- uniroot(f2,c(-10,0),a=a,b=b,c=c,tol=0.0001)
Error in uniroot(f2, c(-10, 0), a = a, b = b, c = c, tol = 1e-04) :
# 位于极点边的f()值之正负号不相反
这应该是uniroot()为了统计计算一元多次方程而设计的,所以为了使用uniroot()函数,我们需要取不同的区间来获得方程的根。以图形展示函数:y=x2+5x+6,如图1-7所示。
> x<-seq(-5,1,by=0.01) # 创建数据点
> y<-f2(x,a,b,c)
> df<-data.frame(x,y)
> g<-ggplot(df,aes(x,y)) # 用ggplot2来画图
> g<-g+geom_line(col='red') # 红色曲线
> g<-g+geom_hline(yintercept=0)+geom_vline(yintercept=0) # 坐标轴
> g<-g+ggtitle(paste("y =",a,"* x ^ 2 +",b,"* x +",c))
> g
![image](https://yqfile.alicdn.com/118009f8b9a0d47333920dc2da21685376a83928.png)
图1-7 函数y=x2+5x+6
我们从图
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面