玩转24点:编程思路和基础算法解析
24点游戏的算法,其中最主要的思想就是穷举法。所谓穷举法就是列出4个数字加减乘除的各种可能性,包括括号的算法。我们可以将表达式分成以下几种:首先我们将4个数设为a,b,c,d,,其中算术符号有+,-,*,/,。其中有效的表达式有a,ab-cd,等等。列出所有有效的表达式。其中我们用枚举类型将符号定义成数字常量,比如用1表示+,2表示-等。如下是我对穷举法的一种编程语言。在编程的头部要对变量做下定义。其中a,b,c,d的范围是1到10。这就需要在定义变量的时候要有限制。在vc++中的编程中,在定义控件的变量范围可以直接填写变量的最大和最小,在此编程中的最大是10,最小是1。这就给编程写语句带来了方便。
运用C/C++语言开发工具Microsoft Visual C++ 6.0,利用它简单、明了的开发特点对课本知识进行系统的实践,并且通过对各个知识点的运用进行所需的程序编写。首先,要充分理解每个程序涉及的算法,牢记实现算法的每一个步骤;其次,再在计算机上利用C语言编写出代码,要求结构清晰,一目了然;最后,要对程序进行优化,使程序实现优秀的运行功能。在编写程序的过程中要充分理解并能熟练使用对应的算法,竟可能多的涉及课本中的知识点。总之通过实行整体方案,最终使程序达到运行状态,并且实现良好的运行效果。
故做了如下的计划安排,将这项工程分为两大部分:程序的设计和程序的调试。
首先在程序的设计部分由分为几个步骤:
- 第一步:查阅有关归并排序算法的资料。
- 第二步:设计这个项目的整体架构和算法。
- 第三步:选择一门程序设计语言进行算法的描述。
设计方法和内容
在做某件事时,一个好的方法往往能起到事半功倍的效果。在这个课程的设计上,我选择了C++语言作为算法的描述语言,因为C++语言具有丰富的表达能力以及代码的高效性,并且有着良好的移植性和灵活性。同时,采用“自顶向下,个个击破”的程序设计思路和思想,充分运用C++语言强大的功能。使该课程设计做起来更加的简单。
我将这个课程设计整体分成了两个部分。一个是数据结构定义部分和算法部分。这两大部分有机的结合共同构成了该课程设计的程序,运行该程序就可以将该课程设计的功能实现了。
程序的设计思想和内容
(一)算法一:
24点游戏的算法,其中最主要的思想就是穷举法。所谓穷举法就是列出4个数字加减乘除的各种可能性。我们可以将表达式分成以下几种:首先我们将4个数设为a,b,c,d,,将其排序列出四个数的所有排序序列组合(共有A44=24种组合)。再进行符号的排列表达式,其中算术符号有+,—,*,/,(,)。其中有效的表达式有a*(b-c/b),a*b-c*d,等等。列出所有有效的表达式。其中我们用枚举类型将符号定义成数字常量。如下是我对穷举法的一种编程语言。在编程的头部要对变量做下定义。其中a,b,c,d的范围是1到10。这就需要在定义变量的时候要有限制。在vc++中的MFC编程中,在定义控件的变量范围可以直接填写变量的最大和最小,在此编程中的最大是10,最小是1。这就给编程写语句带来了方便(因为其自动会生成语句)。下面我介绍下穷举法的主要实现,我们知道要实现24点的算法,就是通过4个数字,4个运算符号和2对括号(最多为2对),通过各种组合判断其结果是否为24。我们用a,b,c,d代替4个数字。考虑每种可能,总的算法就有7种可能。分别为:
1没括号的(形如a*b*c*d);
2有括号的(形如(a * b) * c * d);
3有括号的(形如(a * b * c) * d);
4有括号的(形如a * (b * c) * d);
5有括号的(形如(a * b) * (c * d));
6有括号的(形如((a * b) * c) * d);
7有括号的(形如(a * (b * c)) * d)。
接下来就是对每一种进行分析判断。
以上就是穷举法的基本实现算法
首先穷举的可行性问题。我把表达式如下分成三类:
1、 列出四个数的所有排序序列组合(共有A44=24种组合)。
2、 构筑一个函数,列出所有运算表达式。
3、 输入数据计算。
(二)算法二:
24点游戏的算法,还有另外一种算法。
把多元运算转化为两元运算,先从四个数中取出两个数进行运算,然后把运算结果和第三个数进行运算,再把结果与第四个数进行运算。在求表达式的过程中,最难处理的就是对括号的处理,而这种思路很好的避免了对括号的处理。基于这种思路的一种算法:
因为能使用的4种运算符 – * / 都是2元运算符,所以本文中只考虑2元运算符。2元运算符接收两个参数,输出计算结果,输出的结果参与后续的计算。
由上所述,构造所有可能的表达式的算法如下:
(1) 将4个整数放入数组中
(2) 在数组中取两个数字的排列,共有 P(4,2) 种排列。对每一个排列,
(2.1) 对 – * / 每一个运算符,
(2.1.1) 根据此排列的两个数字和运算符,计算结果
(2.1.2) 改表数组:将此排列的两个数字从数组中去除掉,将 2.1.1 计算的结果放入数组中
(2.1.3) 对新的数组,重复步骤 2
(2.1.4) 恢复数组:将此排列的两个数字加入数组中,将 2.1.1 计算的结果从数组中去除掉
可见这是一个递归过程。步骤 2 就是递归函数。当数组中只剩下一个数字的时候,这就是表达式的最终结果,此时递归结束。
在程序中,一定要注意递归的现场保护和恢复,也就是递归调用之前与之后,现场状态应该保持一致。在上述算法中,递归现场就是指数组,2.1.2 改变数组以进行下一层递归调用,2.1.3 则恢复数组,以确保当前递归调用获得下一个正确的排列。
括号 () 的作用只是改变运算符的优先级,也就是运算符的计算顺序。所以在以上算法中,无需考虑括号。括号只是在输出时需加以考虑。
void Find(int n) {
if (n == 1) {
if ( fabs(number[0] - VOLUE) <= LING ) //对于除法,要小心小数的精确位数
{ cout << exp[0] << "\t\t";
m_judge = true;
count ++;
if((count % 3)==0) //使输出时每行三个表达式
cout<<endl;
}
else
{ }
}
for(int i=0; i < n; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
double a, b;
string expa, expb;
a = number[i];
b = number[j];
number[j] = number[n - 1]; //递归之后,n比以前小一位,所以可以不停向前赋值
expa = exp[i];
expb = exp[j];
exp[j] = exp[n - 1]; //递归之后,n比以前小一位,所以可以不停向前赋值
exp[i]= '('+ expa + '+' + expb + ')'; //加法不需要分顺序
number[i] = a + b;
Find(n-1);
exp[i]='('+ expa+ '-' + expb + ')'; //减法应该分顺序,减数以及被减数
number[i] = a - b;
Find(n-1);
exp[i] = '('+expb + '-' + expa + ')'; //减法应该分顺序,减数以及被减数
number[i] = b -a;
Find(n-1);
exp[i]= '('+ expa +'*'+ expb+ ')'; //乘法不需要分顺序
number[i]=a*b;
Find(n-1);
if (b != 0) {
exp[i] ='('+expa+'/' + expb + ')'; //除法应该分顺序,除数以及被除数
number[i] = a / b;
Find(n-1);
}
if (a != 0) {
exp[i]='('+expb + '/'+ expa + ')'; //除法应该分顺序,除数以及被除数
number[i] = b / a;
Find(n-1);
}
number[i] =a; //这4句语句是为了防止如果上面几种可能都失败了的话,
number[j]=b; //就把原来的赋值撤消回去,以无干扰的正确的进入到下一次
exp[i] = expa; //for循环队列中。
exp[j] = expb; //
}
}
}
附录A 原程序代码
算法一:
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{ float a,b,c,d;
m_ret: //做标记
cout<<"请输入4个数据"<<endl;
cout<<" 第一个数:";
cin>>a;
cout<<" 第二个数:";
cin>>b;
cout<<" 第三个数:";
cin>>c;
cout<<" 第四个数:";
cin>>d;
cout<<"输出所有算法如下:"<<endl;
if ((a<0)||(a>10)||(b<0)||(b>10)||(c<0)||(c>10)||(d<0)||(d>10))
{ cout<<"你输入的输入不对,重新输入"<<endl;
goto m_ret; } // 返回标记,重复输入
int Calculate ( float x, float y, float z, float w); // a .b.c.d 的所有排列组合情况
Calculate(a,b,c,d); Calculate(a,b,d,c); Calculate(a,c,d,b);
Calculate(a,c,b,d); Calculate(a,d,b,c); Calculate(a,d,c,b);
Calculate(b,a,c,d); Calculate(b,a,d,c); Calculate(b,c,a,d);
Calculate(b,c,d,a); Calculate(b,d,c,a); Calculate(b,d,a,c);
Calculate(c,a,b,d); Calculate(c,a,d,b); Calculate(c,b,d,a);
Calculate(c,b,a,d); Calculate(c,d,a,b); Calculate(c,d,b,a);
Calculate(d,a,b,c); Calculate(d,a,c,b); Calculate(d,b,c,a);
Calculate(d,b,a,c); Calculate(d,c,a,b); Calculate(d,c,b,a);
return 0; }
int Calculate ( float x, float y, float z, float w) //运算表达式的所有情况
{
if (x+y+z+w==24) cout<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<"+"<<w<<"=24"<<endl;
else if (x+y+z-w==24) cout<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x+y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
else if ((x-y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
else if ((x-y)*(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<")*("<<z<<"-"<<w<<")=24"<<endl;
else if ((x+y+z)*w==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x-y-z)*w==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<"-"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x+y-z)*w==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<"-"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y*z)/w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<"*"<<z<<")/"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
else if ((x*y)*(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<"-"<<w<<")=24"<<endl;
else if ((x*y)*z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<")-"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)*z+w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<")+"<<w<<"=24"<<endl;
else if (x*y*z*w==24) cout<<x<<"*"<<y<<"*"<<z<<"*"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x+y)+(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")+("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x+y)*(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")*("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)+z+w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+"<<z<<"+"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)+z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)-(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)+(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)-z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)+(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)-(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)/(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)/(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"-"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else if ((x*y)/(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"+"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
else cout<<"不可以组成24"<<endl;
return 0;
}
算法二:
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
const double LING = 1E-6;
const int CONT = 4;
const int VOLUE = 24;
double number[CONT];
string expression[CONT];
bool m_judge = false; //判断是否有解。
int count = 0;
void Find(int n)
{
if (n == 1)
{
if ( fabs(number[0] - VOLUE) <= LING )
{
cout << expression[0] << "\t\t";
m_judge = true;
count ++;
if((count % 3)==0) //使输出时每行三个表达式
cout<<endl;
}
else
{ }
}
for(int i=0; i < n; i++)//查找
{
for (int j = i + 1; j < n; j++)//与其后面的查找进行计算
{
double a, b;
string expressiona, expressionb;
a = number[i];
b = number[j];
number[j] = number[n - 1];
expressiona = expression[i];
expressionb = expression[j];
expression[j] = expression[n - 1];
expression[i]= '('+ expressiona + '+' + expressionb + ')';
number[i] = a + b;
Find(n-1);
expression[i]='('+ expressiona+ '-' + expressionb + ')';
number[i] = a - b;
Find(n-1);
expression[i] = '('+expressionb + '-' + expressiona + ')';
number[i] = b -a;
Find(n-1);
expression[i]= '('+ expressiona +'*'+ expressionb+ ')';
number[i]=a*b;
Find(n-1);
if (b != 0)
{
expression[i] ='('+expressiona+'/' + expressionb + ')';
number[i] = a / b;
Find(n-1);
}
if (a != 0)
{
expression[i]='('+expressionb + '/'+ expressiona + ')';
number[i] = b / a;
Find(n-1);
}
number[i] =a;
number[j]=b;
expression[i] = expressiona;
expression[j] = expressionb;
}
}
}
int main()
{
cout<<"请输入四个数:\n";
for (int i = 0; i < CONT; i++)
{
char ch[20];
cout<<"第"<<i+1<<"个数:";
cin >>number[i];
itoa(number[i],ch, 10); //itoa()函数的作用是把第一个参数(数值)传送(转换)到第二个参数(字符串)中去,第三个参数(int型)是该数值在字符串里以什么进制存放。
expression[i] = ch;
}
cout<<endl;
Find(CONT) ;
if(m_judge==true)
{
cout << "\n成功!" << endl;
cout<<"总共的计算方法共有: "<<count<<endl;
}
else
{
cout << "失败!" << endl;
}
return 0;
}
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F#探险之旅(二):函数式编程(上)-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式:函数式编程(Functional Programming,FP)、命令式编程(Imperative Programming)和面向对象(Object-Oriented,OO)的编程。回顾它们的历史,FP是最早的一种范式,第一种FP语言是IPL,产生于1955年,大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp,产生于1958,早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言,它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟,至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出,各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言(SML,Ocaml,Haskell及Clean等)和类FP语言(APL和Lisp是现实世界中最成功的两个)在1950年代就不断发展,FP仍停留在学院派的“象牙塔”里;而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天,FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的(当然更简单的问题也不在话下)。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合,它不允许有副作用(side effect,即改变了状态),使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数,它们都不改变程序的状态。举个简单的例子,一旦将一个值赋给一个标识符,它就不会改变了,函数不改变参数的值,返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅,FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题,它的优势之一就是融合了多种编程范式,允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章:Why Functional Programming Matters(中文版)。F#中的函数式编程 从现在开始,我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符(Identifier) 在F#中,我们通过标识符给值(value)取名字,这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符,如: let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句,两者有着关键的不同。在纯粹的FP中,一旦值赋给了标识符就不能改变了,这也是把它称为标识符而非变量(variable)的原因。另外,在某些条件下,我们可以重定义标识符;在F#的命令式编程范式下,在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数,在F#中函数本质上也是值。也就是说,F#中没有真正的函数名和参数名的概念,它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的,只是会有额外的标识符表示参数: let add x y = x + y 这里共有三个标识符,add表示函数名,x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记,它们被编译器保留作特殊之用。在F#中,不能用作标识符或类型的名称(后面会讨论“定义类型”)。它们是: abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字,但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称,但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性,最好不要使用。它们是: atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值(Literals) 文字值表示常数值,在构建计算代码块时很有用,F#提供了丰富的文字值集。与C#类似,这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等,在此不再赘述,详细信息请查看F#手册。 与C#一样,F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串(regular string),其中可包含转义字符;二是逐字字符串(verbatim string),其中的(")被看作是常规的字符,而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示: let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer,8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式,适用于任何类型的值,也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数(Values and Functions) 在F#中函数也是值,F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似,只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值,也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说,它定义在add的基础上,它只向add传递了一个参数,这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念,F(x, y) = x + y,G(y) = F(4, y),实际上G(y) = 4 + y,G也是一个函数,它接收一个参数,这个地方是不是很类似?这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化(curried function)。 当然对某些函数来说,传递部分参数是无意义的,此时需要强制提供所有参数,可是将参数括起来,将它们转换为元组(tuple)。下面的例子将不能编译通过: let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数,如sub(4, 5),这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说,前者具有更高的灵活性,一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值,我们应当将这些行进行缩进: let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是,缩进时要用空格而不是Tab,如果你不想每次都按几次空格键,可以在VS中设置,将Tab字符自动转换为空格;虽然缩进的字符数没有限制,但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域(Scope)作用域是编程语言中的一个重要的概念,它表示在何处可以访问(使用)一个标识符或类型。所有标识符,不管是函数还是值,其作用域都从其声明处开始,结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言,一旦为其赋值,它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用,这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符,一般而言,它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们,有时这会很有用,对于某些函数来说,计算过程涉及多个中间值,因为值是不可修改的,所以我们就需要定义多个标识符,这就要求我们去维护这些标识符的名称,其实是没必要的,这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型,但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全,其基本意义是F#会避免对值的错误操作,比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中,第一行和第二行都没问题,第三行就有问题了,在重定义x的时候,赋给它的值是x + 1,而x是字符串,与1相加在F#中是非法的。 另外,如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果: fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value,因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值,其有效范围仅仅在innerFun内部。递归(Recursion)递归是编程中的一个极为重要的概念,它表示函数通过自身进行定义,亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数: let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配(F#的一个很棒的特性),其C#版本为: public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心,可能会写出不能终止的递归。匿名函数(Anonymous Function) 定义函数的时候F#提供了第二种方式:使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名,这种函数就是所谓的匿名函数,有时称为lambda函数,这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数,通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun,我们还可以使用function关键字定义匿名函数,它们的区别在于后者可以使用模式匹配(本文后面将做介绍)特性。看下面的例子: let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun,因为它更为紧凑,在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意:本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写,在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面