线性代数之——线性变换及对应矩阵-1. 线性变换的概念

当一个矩阵 $A$ 乘以一个向量 $\boldsymbol v$ 时，它将 $\boldsymbol v$ 变换到另一个向量 $A\boldsymbol v$。进来的是 $\boldsymbol v$，出去的是 $T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v$。一个变换 $T$ 就像一个函数一样，进来一个数字 $x$，得到 $f(x)$。但更高的目标是一次考虑所有的 $\boldsymbol v$，我们是将整个空间 $\boldsymbol V$ 进行变换当我们用 $A$ 乘以每一个向量 $\boldsymbol v$ 时。

一个变换 $T$，为空间 $\boldsymbol V$ 中的每一个向量 $\boldsymbol v$ 分配一个输出 $T( \boldsymbol v)$。这个变换是线性的，如果它满足： $$(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v) \space 对任意 \space c \space 成立$$

我们可以将这两个条件结合成一个，

$$ T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)$$

矩阵相乘满足线性变化，因为 $A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w$ 始终成立。

线性变换满足线到线，三角形到三角形，看下图。

在一条线上的三个点经过变换后仍然在一条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输入是一个三角形变换后输出还是一个三角形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。

变换有自己的语言，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，比如列空间包含所有的线性组合 $Av$，零空间包含所有使得 $Av=0$ 的输入。将它们转化为值域（range）和核（kernel）：

$T$ 的值域 = 所有输出 $T(v)$ 的集合，对应于列空间。 $T$ 的核 = 所有使得 $T(v)=0$ 的输入的集合，对应于零空间。

投影任意一个三维向量到 $xy$ 平面，那么我们有 $T(x, y, z)=(x, y, 0)$。值域就是这个平面，包含了所有的 $T(v)$；核是 $z$ 轴，它们被投影到了零点。这是一个线性的变换。

投影任意一个三维向量到 $z=1$ 平面，那么我们有 $T(x, y, z)=(x, y, 1)$。这不是一个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，而这是线性变换必须满足的条件。

假设 $A$ 是一个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域 $W$ 和输入空间 $V$ 相同。有另一个线性变化是乘以矩阵 $A^{-1}$，它将每一个 $T(v) $都带回到 $v$，有，

$$T^{-1}(T(v))=v \Longleftrightarrow A^{-1}Av=v$$

我们遇到了一个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由一个矩阵产生吗？答案是肯定的，所有的变换比如旋转、投影……背后都藏着对应的一个矩阵。

最后我们来直观地感受一下线性变换，看一个矩阵是怎么旋转、拉伸或者以其它方式改变输入的房子的。