中山大学某年家中自测版《家里蹲大学数学杂志》第32期刊登的本科泛函分析期中考试题目

1 (10分) 设 (\calX,d) 是完备的度量空间, A 是 \calX 到 \calX 中的映射, 记 \bexan=supx≠x′d(Anx,Anx′)d(x,x′).\eex

若 \dps∑∞n=1an<∞, 求证: A 有唯一的不动点.

提示: 存在性: 当 n 充分大时, An 是压缩映射.

 

2 (10分) 在度量空间中求证: 基本列是收敛列, 当且仅当其存在一收敛子列.

提示: 充分性: 利用三角不等式.

 

3 (15分) 在完备度量空间中求证: 为了子集 A 是列紧的, 其充分必要条件是对 ∀ \ve>0, 存在 A 的列紧的 \ve-网.

提示: 重复利用 Hausdorff 定理.

 

4 (15分) 设 e1,e2,⋯,en 是实 B∗ 空间 \calX 中的线性无关的向量组. 证明: 存在 c>0, 使得对所有 (x1,x2,⋯,xn)∈\bbRn, 有 \bex\senn∑i=1xiei≥cmax1≤i≤n\sevxi.\eex

提示: 考虑 \calX 的有限维 B 子空间 span\sedeini=1, 其上的所有范数均是等价的.

 

5 (10分) 在内积空间 (\calX,(⋅,⋅)) 中证明: 内积 (x,y) 是 \calX×\calX 上的关于范数 \sen⋅ 的连续函数.

提示: 分拆后利用三角不等式.

 

6 (10分) 设 \calX 是 B∗ 空间, C 是一含 θ 点的闭凸集, P(x) 是由 C 产生的 Minkowski 泛函. 求证:

(1)如果 C 是有界的, 则 \bexP(x)=0\lrax=0;\eex

(2)若 C 以 θ 为内点, 则 C 是吸收的, 且 P(x) 是一致连续的.

提示:

(1)利用定义 \bexP(x)=inf\sedλ>0; xλ∈C\sex∀ x∈\calX;\eex

(2)利用范数的齐次性及 P(x) 适合的三角不等式.

 

7 (15分) 设 \calX 是 Hilbert 空间, \calX0 是 \calX 的闭子空间, \seden, \sedfn 分别是 \calX0 和 \calX⊥0 的正交规范基. 求证: \seden∪\sedfn 是 \calX 的正交规范基.

提示: 利用 Hilbert 空间中对于闭子空间的正交分解.

 

8 (15分) 证明在实 空间中下述命题等价:

(1) x⊥y;

(2) 对所有的 k∈\bbR, 有 \senx+ky=\senx−ky;

(3) 对所有的 k∈\bbR, 有 \senx+ky=\senx.

提示: 平方展开即可.

 

9 (附加题, 10分) 设 E 是 B∗ 空间 \calX 的一子集. 证明:

(1) 若 spanE≠\calX, 则 Eo=∅;

(2)若 \calX 是 \bbR 上的有限维 B∗ 空间, E 是 \calX 中的包含 θ 的闭凸集, 则 \bexspanE=\calX \lra Eo≠∅.\eex

提示:

(1) 用反证法. 若 Eo≠∅, 则 \bex∃ x0∈E, r>0, s.t. B(x0,r)⊂E.\eex

于是 \bex \theta\neq x\in \calX&\ra& x_0+\frac{r}{2\sen{x}}x\in B(x_0,r)\subset E\\ &\ra& \exists\ y\in B(x_0,r)\subset E,\ s.t.\ x_0+\frac{r}{2\sen{x}}x=y\\ &\ra& x=\frac{2\sen{x}}{r}\sex{-x_0+y}\in span E. \eex (2)\la: 由 (a) 即知. \ra: 设 spanE=\calX, 则存在 E 中线性无关的向量组 \sedeini=1⊂E 使得 span\sedeini=1=\calX. 记 \bexe0=1n+1n∑i=1ei\sex点列 0,e1,⋯,en的重心,\eex 则由 0∈E 及 E 凸知 e0∈E. 往证 e0∈Eo. 事实上, \bex x\in \calX&\ra&\exists\ !\ \mu_i\in \bbR,\ s.t.\ x=\sum_{i=1}^n\mu_i(e_i-e_0)+e_0\\ &\ra&x=\sum_{i=1}^n \mu_ie_i+\sex{1-\sum_{j=1}^n \mu_j}e_0\\ & &\quad =\sum_{i=1}^n \mu_ie_i+\sex{1-\sum_{j=1}^n \mu_j} \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^ne_i\\ & &\quad =\sum_{i=1}^n \sez{\mu_i+\frac{1}{n+1}\sex{1-\sum_{j=1}^n\mu_j}}e_i\\ & &\quad \equiv \sum_{i=1}^n \lambda_ie_i. \eex 当 \dpsmax1≤i≤n\sevμi 充分小时, \bex0<λi<1\sex1≤i≤n,

上一篇： 量子计算与量子密码（入门级-少图版）（下）

下一篇： 给小朋友的数学系列再寄：2012年中国科技大学考研高数B卷中的最大值点导数为零的应用示例（2014年6月22日）

推荐阅读

• 中山大学某年家中自测版《家里蹲大学数学杂志》第32期刊登的本科泛函分析期中考试题目