用Python和Matplotlib画出三次B样条曲线的基本图示

问题描述：

在计算机图形学课程中，B样条曲线属于重要教学内容之一。已知，m+n+1个控制点可以确定m+1段光滑拼接的n次B样条曲线，其中第i段（i=0,1,2,...,m）曲线上点的定义为

上式用来确定曲线上的一个点，其中

表示控制点，基函数的定义为

对基函数进行展开和化简可得，3次B样条曲线的4个基函数分别为

和贝塞尔曲线类似，B样条曲线的控制点确定曲线的大致形状，曲线的性质则由基函数确定。

以端点性质为例，把t=0和t=1分别代入基函数定义和B样条曲线定义式，可得

下图分别是1段3次B样条曲线和3段光滑拼接的3次B样条曲线，可以看出，与上面推导的结论是相符的。

这一点也可以通过观察3次B样条曲线4个基函数的图像来验证，通过下面的函数图像可知，1段3次B样条曲线起点位置（t=0）由前3个控制点确定（权重或贡献分别为1/6、2/3、1/6），第4个控制点不起作用（权重为0）；1段3次B样条曲线的结束位置（t=1）由最后3个控制点确定（权重分别为1/6、2/3、1/6），第1个控制点不起作用（权重为0）。这与通过数学公式推导的结果是一致的。

绘制上面基函数图像的代码如下：