使用位运算实现java四则运算中的加法、减法、乘法和除法操作
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文章目录
- 前言
- 一、常见位运算
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- 1. &运算
- 2. |运算
- 3. ^运算
- 4. ~运算
- 二、位运算实现加法
- 三、位运算实现减法
- 四、位运算实现乘法
- 四、位运算实现除法
前言
我们经常使用的加减乘除,我们所看到的只是表面的效果,那么加减乘除在底层究竟是怎么实现的?今天就让我们一探究竟.今天用位运算实现的加减乘除不使用任何的加减乘除符号.
一、常见位运算
1. &运算
&运算二进制每一位全1为1,否则为0
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a & b);
}
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2. |运算
|运算二进制每一位有1为1,全0为0
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a | b);
}
3. ^运算
^运算二进制每一位不同为1,相同为0
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a ^ b);
}
4. ~运算
~运算是二进制每一位按位取反.
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
System.out.println(~a);
}
二、位运算实现加法
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a + b);
}
下来我们用位运算实现一下加法.
我们进行一次异或运算就相当于进行一次无进位加法,那这样也不能实现加法,那我们得想办法,实现进位的数值.
进行一次与运算,只有同时为1才为1,也当同时为1时,我们需要进位,所以我们进行与运算后进行左移一位的操作,即可得到进位后的数值.
我们对异或运算和与运算后左移一位的结果进行相加即可,但我们只能进行位运算,所以我们只能再次进行异或运算与与运算,直到云运算的结果为0时,我们的异或运算的结果即为加法的结果.
public static int bitAdd(int a,int b) {
int sum = 0;
while(b != 0) {
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(bitAdd(1,2));
}
三、位运算实现减法
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a - b);
}
下来我们用位运算实现一下减法. 在我们有了位运算实现加法的基础之后,我们的减法就变得简单了,a – b == a + ( -b ),所以我们只需要将b变为-b即可实现减法功能,但我们不能使用负号,那我们来用位运算来实现一下.
public static void main(String[] args) {
System.out.println(~3);
}
我们可以发现一个数取反与相反数差一,我们取反加一即可得到相反数.
public static void main(String[] args) {
System.out.println(~3 + 1);
}
public static int bitAdd(int a,int b) {
int sum = 0;
while(b != 0) {
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}
public static int bitSub(int a,int b) {
return bitAdd(a,~b+1);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(bitSub(1,3));
}
四、位运算实现乘法
public static void main(String[] args) {
int a = 1;
int b = 3;
System.out.println(a * b);
}
我们小学的时候是怎么进行乘法的,按位相乘,每一位和每一位相乘.
二进制中也是一样的,按位相乘,如果被乘数二进制位是1则与乘数相乘.每次运算进行移位
public static int bitAdd(int a,int b) {
int sum = 0;
while(b != 0) {
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}
public static int bitMul(int a,int b) {
int sum = 0;
while(b != 0) {
if((b & 1) != 0) {
sum += a;
}
a <<= 1;
b >>>= 1;
}
return sum;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(bitMul(1,3));
}
四、位运算实现除法
public static void main(String[] args) {
int a = 7;
int b = 2;
System.out.println(a / b);
}
我们在用位运算实现除法时,采用逆推的方式,a / b = c, a = c * b。
我们只需要求出a减去b向左的移位,只要满足a <= b的移位即可,每次移动多少位即a / b的结果二进制中某一位为1,以此循环倒推即可.
public static int bitAdd(int a,int b) {
int sum = 0;
while(b != 0) {
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}
public static int negNum(int n) {
//转化为相反数
return bitAdd(~n,1);
}
public static int minus(int a,int b) {
//实现两个数相减
return bitAdd(a,negNum(b));
}
public static boolean isNeg(int n) {
//判断是否为负数
return n < 0;
}
public static int bitDiv(int a,int b) {
int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
int res = 0;
for (int i = 30; i >= 0 ; i = minus(i,1)) {
if((x >> i) >= y) {
res |= (1 << i);
x = minus(x,y << i);
}
}
return isNeg(a) != isNeg(b) ? negNum(res) : res;
}
public static void main(String[] args) {
int a = 7;
int b = 2;
System.out.println(bitDiv(a,b));
}
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数的机器码表示:原码、反码、补码、变形补码、移码和浮点数编码-数学定义:例:+111的原码为0111,-101的原码为1101 (2) 纯小数的原码表示 纯小数的原码首位同样为符号位,后面的数值则表示小数的尾数,纯小数的整数位为默认为0无需表示。 例:+0.111的原码为0111,-0.101的原码为1101 可以看到,+111和+0.111的原码同为0111,这是因为约定的小数点位置不同,整数的原码的小数点约定在末尾,纯小数的原码的小数点约定在数值的最前面,这样通过约定小数点的位置来表示数的方法就称为定点数表示法,约定小数点位置实际上就是约定编码中每一位的权重。 二、反码 正数的反码与其原码相同。 负数的反码是其对应原码的符号位不变,数值位按位取反。 数学定义:例: 真值 +111 -101 +0.111 -0.101 原码 0111 1101 0111 1101 反码 0111 1010 0111 1010 三、补码 原码虽然转换很简单,但是在做减法时操作很复杂(减不够还要借位),因此计算机在做加负数操作时会先将负数的原码转换为补码再做加法。 先举个栗子,假设时钟现在是9点钟,我把时针往回拨3个小时是6点钟,或者顺时针往后拨9个小时还是6点钟,也就是说9-3的结果等同于9+9(mod 12),对于模数12,-3的补码为+9,这就引申出了一种将减法转换为加法的思想,把减去一个正数视为加上一个负数(例如9+(-3)),再将负数转换为对应的补码,最后就可以和补码做加法了,若结果超出了模数则丢弃一个模数即可。 如图所示:9减去灰色的部分(-3)就等同于加上蓝色的部分,即-3的补码即为蓝色部分的长度9(mod 12)。即补码=模数+真值(超出模数则舍弃一个模数) (1) 整数的补码表示 对于一个n位的二进制真值x,则取模数为2^(n+1),若x为正数则补码和原码相同(加上一个模数又需舍弃一个模数 故相同),若为负数则补码为模数加上x。相对于原码,补码这里的首位就不仅代表原数真值的符号了,也是补码自己的一个数值位。 取模数为2^(n+1)是因为在需要舍弃模数时只需要舍弃运算结果(二进制数)的最高位即可,这在计算机中很容易实现 数学定义:例:三位二进制数的模数2^4就是10000,故+111的补码为0111(即10000 + 111 = 0111 (舍弃模数位)),-101的补码为1011(即10000 - 101 = 1011) 补码运算示例:那么+111 - 101 = +111 + (-101) = 0111 + 1011 = 10010,运算结果只保留后四位(即舍弃模数位),故计算结果为0010。这样就通过加法实现了减法运算。 补码可表示数据范围:由数学定义可知,n位二进制补码可表示的数据范围为 -2n-1~2n-1-1。以8位的byte类型数为例,可表示的数据范围为 -27~27-1,即-128至+127,最小负数-128(补码:1000 0000),最大负数-1(补码:1111 1111),0(补码:0000 0000),最小正数1(补码:0000 0001),最大正数127(补码:0111 1111)。 由补码求真值:正数的补码即为原码即为真值,负数的真值由计算规则可知 负数真值= - (模数 - 补码),以补码1111 1111为例,其真值 = - (1 0000 0000 - 1111 1111) = - 0000 0001 = -1 (2) 纯小数的补码表示 对于一个纯小数x,则取模数为2^1,正数的补码和原码相同,负数的补码为模数2加上x。同样补码的首位不仅代表原数真值的符号,也是补码的数值位。 数学定义:例:纯小数的模数2就是10,故+0.111的补码为0111,-0.101的补码为1011(小数点约定在符号位后) 计算机中求补码的规则 可以注意到求负数的补码时还是要做减法,这在计算机中就很不方便了,但是通过其数学定义可以看到无论是整数还是纯小数,负数的补码都等于反码的末尾加1,而这又等同于原码数值位从右向左遇到第一个1后,这个1左边的数值位都按位取反,故实际计算机中求补码的规则如下:正数的补码等于原码负数的补码等于原码的数值位从右向左的第一个1左边的所有数值位按位取反(例:byte类型值-6的原码为1000 0110,则其补码为1111 1010) 四、变形补码 两个补码在运算时可能会溢出从而产生错误的结果,比如0111+0101 = 1100,两个正数相加反而得到了一个负数,那么在计算机中要如何判断运算结果是否溢出了呢,这就引申出了变形补码。从直观上看,相对于补码来说变形补码就是用两位来表示符号位,00表示正数,11表示负数。运算结果符号位为01表示正溢出,10表示负溢出。
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