王学民的多元分析应用探索 - 第三章(2)-3.部分

试证 (3.4.1) 式中的最后一个等式。

答案

令$\mathbf{D}=diag(\sqrt{{\sigma }_{11}},\sqrt{{\sigma }_{22}},\cdots ,\sqrt{{\sigma }_{pp}})$，其中${\sigma }_{11},{\sigma }_{22},\cdots ,{\sigma }_{pp}$是${\mathbf{\Sigma }}_{xx}$是$p$个对角线元素，则
$$\begin{gathered} {\mathbf{\sigma }}_{xy}=Cov(x,y)=\mathbf{D}\rho (x,y)\sqrt{{\sigma }_{yy}}=\sqrt{{\sigma }_{yy}}{\mathbf{D\rho }}_{xy} \\ {\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{xx}}=\mathbf{D}{\mathbf{R}}_{\mathbf{xx}}\mathbf{D} \end{gathered}$$
从而
$$\frac{{\mathbf{\sigma }}_{\mathbf{xy}}^{\prime }{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{xx}}^{-1}{\mathbf{\sigma }}_{\mathbf{xy}}}{{\sigma }_{yy}}=\frac{(\sqrt{{\sigma }_{yy}}{\mathbf{D\rho }}_{xy}{)}^{\prime }({\mathbf{DR}}_{xy}\mathbf{D}{)}^{-1}(\sqrt{{\sigma }_{yy}}{\mathbf{D\rho }}_{xy})}{{\sigma }_{yy}}={{\mathbf{\rho }}^{\prime }}_{xy}{\mathbf{R}}_{xx}^{-1}{\mathbf{\rho }}_{xy}$$