解析SPSS进行判别分析的步骤和结果
载入数据：
分析操作步骤：
Fisher(F)：给出的是Bayes线性判别函数的系数
未标准化(U)：给出未标准化的典型判别系数，即费希尔投影函数。
先验概率选相等给出的结果是距离判别的结果，根据组样本大小计算用于贝叶斯判别。
输出是贝叶斯判别选项
这里可以修改各组的假定概率，点击运行即可保存。
预测组成员(Predicted group membership)：存放判别样品所属类别的值；
判别得分（Discriminant scores）：存放Fisher判别函数值（投影函数）的值，有几个典型判别函数就有几个判别函数值变
组成员概率（Probabilities of group membership）：存放样品属于各类的Bayes后验概率值，总体分为几类就生成几个后验概率变量。
例5.4.1鸢尾花案例的结果分析：
案例处理汇总分析，反映有效样本和变量的缺失情况，鸢尾花这个例子没有缺失变量。
给出组别1、组别2、组别3以及组别1、2、3共同的均值、标准差差和变量个数，这个用于费希尔判别，可见第五版课本P138。
组内协方差就是当组一、组三和组二协方差相等时方差的联合无偏估计，对比下第五版课本P117的方差的联合无偏估计和第五版课本P135的公式，可得方差的联合无偏估计*（三组变量总个数-组数）=组内平方和及叉积和矩阵（E），用于费希尔判别，可见第五版课本P138。
因为总体协方差*相应的*度=总平方和，组间平方和=总平方和-组内平方和，所以总的协方差矩阵*相应的*度-方差的联合无偏估计*（三组变量总个数-组数）=组间平方和及叉和矩阵（H），用于费希尔判别，可见第五版课本P138。
Box's M统计量检验各组内协方差阵相等的假设。原假设为：H0:Σ1=Σ2=Σ3=Σ 概率值小于0.05，故在0.05的显著性水平下各总体协方差阵不相等，即组一、组二和组三协方差不相等。因此在分类选项中的协方差矩阵选择可以考虑采用分组协方差。
由于只有三个组，所以只有两个判别函数。反映判别函数的特征根（第一个特征根为32.192、第二个特征根为0.285，可见第五版课本P138）、解释方差的比例和典型相关系数（组间平方和与总平方和之比的平方根，表示判别函数与组别间的关系程度）。第一个判别函数解释了99.1%的方差，第二判别函数解释了0.9%的方差，两个判别函数解释了全部方差。
Fisher判别函数有效性检验结果。该检验的原假设是不同组的平均Fisher判别函数值不存在显著差异。从表中给出的p值来看，P=0.00<0.05，说明在0.05的显著性水平下有理由拒绝原假设。1到 2 表示没有函数被移去，拒绝原假设，表明两个判别函数能将各组样品分开，2的表示排除了第一个判别函数后的显著性检验，拒绝原假设，第二个判别函数也能将各组样品分开。
标准化判别函数系数可以看出预测变量在组成判别函数时的相对贡献，如本例，第一判别函数的花瓣长比较重要，第二判别函数在花萼宽比较重要。标准判别函数系数的计算是由非标准化判别函数系数乘以联合组内协方差矩阵主对角的平方根得来。
结构系数即预测变量与典型判别函数的联合组内相关系数，由联合组内相关系数矩阵*标准化判别函数系数矩阵计算得到。
非标准化判别函数系数，即费歇尔判别函数系数。是由上面的特征根所对应的特征向量（标准化特征向量）而得来的。可见第五版课本P138。
中心化的费希尔判别函数（Fisher投影函数） ，表示为
y1=-0.083*花萼长-0.153*花萼宽+0.220*花瓣长+0.281*花瓣宽-2.105
y2=0.002*花萼长+0.216*花萼宽-0.093*花瓣长+0.284*花瓣宽-6.661
反映判别函数在各组的重心，即判别函数的组均值，由非标准化判别函数系数矩阵*（各组平均值-总平均值）得到，可见第五版课本P138。
将样本中150个样品的判别函数得分作一散点图，如下所示：
判别：
本例使用了所有判别函数且概率相等，所以费希尔判别等价于距离判别等价于各先验概率均相等时的贝叶斯判别。
分类函数处理汇总。已处理150个观测量，没有缺失值。
因为之前选择的是先验概率所有组相等，所以组一与组二的概率都为0.333，这个用于贝叶斯判别。
这里的Fisher 的线性判别式函数系数为贝叶斯的线性判别函数系数，这是用贝叶斯判别分析法产生的分类函数系数，可见课本第五版课本P121的5.2.17式，可以计算出每个观测在各组的分类函数值，然后将观测分类到较大的分类函数值中。
给出了判别结果，通过判别函数的预测，有147个观测是正确的，其中，y=1组50个观测全部被判对，y=2组50个观测中有48个观测被判对，y=3组50个观测中有49个观测被判对，从而有98%的原始观测被判对。（可见第五版课本P141）
例5.2.3破产和非破产公司的案例结果分析：
案例处理汇总分析，反映有效样本和变量的缺失情况。这里排除了一个变量，因为破产组与非破产组中第47个数据是待判数据，所以只能选用前46个变量进行分析。
给出组别1、组别2以及组别1、2共同的均值、方差和变量个数，这个用于距离判别，可见第五版课本P123。
组内协方差就是当组一协方差与组二协方差相等时方差的联合无偏估计，用于距离判别，可见第五版课本P123。
组别1、组别2的协方差，用于计算组内协方差和当组一协方差与组二协方差不相等时的距离判别，可见第五版课本P123。
Box's M统计量检验各组内协方差阵相等的假设。原假设为：H0:Σ1=Σ2 =Σ 概率值小于0.05，在0.05的显著性水平下各总体协方差阵不相等，即组一协方差与组二协方差不相等。因此在分类选项中的协方差矩阵选择可以考虑采用分组协方差。
判别：
本例假定概率相等，所以距离判别等价于各先验概率均相等时的贝叶斯判别。
分类函数处理汇总，已处理47个观测量，没有缺失值。
因为之前选择的是先验概率所有组相等，所以组一与组二的概率都为0.5，这个用于贝叶斯判别。
这里的Fisher 的线性判别式函数系数为贝叶斯的线性判别函数系数（可见课本第五版课本P123），这是用贝叶斯判别分析法产生的分类函数系数，可见课本第五版课本P121的5.2.17式，可以计算出每个观测在各组的分类函数值，然后将观测分类到较大的分类函数值中。
给出了判别结果，通过判别函数的预测，有41个观测是正确的，其中，y=1组21个观测有18个被判对，y=2组25个观测中有24个观测被判对，从而有96%的原始观测被判对。在交叉验证中，其中，y=1组21个观测有18个被判对，y=2组25个观测中有23个观测被判对，从而有92%的原始观测被判对。
spss几点说明：
1、spss只有Bayes判别和Fisher判别的直接选项，没有距离判别的直接选项，只在个案结果（Casewise Statistics）中给出了一个结果。
2、spss中Bayes判别和Fisher判别的操作没有分开进行
3、spss中给出的判别表达式（投影函数）都是针对协方差阵相等的情形给出的，对于协方差阵不相等的情况要手动计算
4、spss判别以Bayes判别为主，主要菜单与选项都是针对Bayes判别分析设置，并且最终保存的判别结果也是以Bayes判别为依据；Fisher判别操作仅给出投影表达式、各类投影中心坐标或投影分解图去做判别，并没有提供费歇尔法的计算机处理程序。
5.当协方差不等时，除了做不出交叉验证的结果和出现典型判别式函数的组协方差及相等性检验外，其他结果几乎不变；当概率不同，协方差相等时，交叉验证的结果不同。
推荐阅读
-
[姿势估计] 实践记录：使用 Dlib 和 mediapipe 进行人脸姿势估计 - 本文重点介绍方法 2）：方法 1：基于深度学习的方法：。 基于深度学习的方法：基于深度学习的方法利用深度学习模型，如卷积神经网络（CNN）或递归神经网络（RNN），直接从人脸图像中学习姿势估计。这些方法能够学习更复杂的特征表征，并在大规模数据集上取得优异的性能。方法二：基于二维校准信息估计三维姿态信息（计算机视觉 PnP 问题）。 特征点定位：人脸姿态估计的第一步是通过特征点定位来检测和定位人脸的关键点，如眼睛、鼻子和嘴巴。这些关键点提供了人脸的局部结构信息，可用于后续的姿势估计。 旋转表示：常见的旋转表示方法包括欧拉角和旋转矩阵。欧拉角通过三个旋转角度（通常是俯仰、偏航和滚动）描述头部的旋转姿态。旋转矩阵是一个 3x3 矩阵，表示头部从一个坐标系到另一个坐标系的变换。 三维模型重建：根据特征点的定位结果，三维人脸模型可用于姿势估计。通过将人脸的二维图像映射到三维模型上，可以估算出人脸的旋转和平移信息。这就需要建立人脸的三维模型，然后通过优化方法将模型与特征点对齐，从而获得姿势估计结果。 特征点定位 特征点定位是用于检测人脸关键部位的五官基础部分，还有其他更多的特征点表示方法，大家可以参考我上一篇文章中介绍的特征点检测方案实践：人脸校正二次定位操作来解决人脸校正的问题，客户在检测关键点的代码上略有修改，坐标转换部分客户见上图 def get_face_info(image). img_copy = image.copy image.flags.writeable = False image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2RGB) results = face_detection.process(image) # 在图像上绘制人脸检测注释。 image.flags.writeable = True image = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_RGB2BGR) box_info, facial = None, None if results.detections： for detection in results. for detection in results.detections: mp_drawing.Drawing.detection = 无 mp_drawing.draw_detection(image, detection) 面部 = detection.location_data.relative_keypoints 返回面部 在上述代码中，返回的数据是五官（6 个关键点的坐标），这是用 mediapipe 库实现的，下面我们可以尝试用另一个库：dlib 来实现。 使用 dlib 使用 Dlib 库在 Python 中实现人脸关键点检测的步骤如下： 确保已安装 Dlib 库，可使用以下命令： pip install dlib 导入必要的库： 加载 Dlib 的人脸检测器和关键点检测器模型： 读取图像并将其灰度化： 使用人脸检测器检测图像中的人脸： 对检测到的人脸进行遍历，并使用关键点检测器检测人脸关键点： 显示绘制了关键点的图像： 以下代码将参数 landmarks_part 添加到要返回的关键点坐标中。
-
【Netty】「萌新入门」（七）ByteBuf 的性能优化-堆内存的分配和释放都是由 Java 虚拟机自动管理的，这意味着它们可以快速地被分配和释放，但是也会产生一些开销。 直接内存需要手动分配和释放，因为它由操作系统管理，这使得分配和释放的速度更快，但是也需要更多的系统资源。 另外，直接内存可以映射到本地文件中，这对于需要频繁读写文件的应用程序非常有用。 此外，直接内存还可以避免在使用 NIO 进行网络传输时发生数据拷贝的情况。在使用传统的 I/O 时，数据必须先从文件或网络中读取到堆内存中，然后再从堆内存中复制到直接缓冲区中，最后再通过 SocketChannel 发送到网络中。而使用直接缓冲区时，数据可以直接从文件或网络中读取到直接缓冲区中，并且可以直接从直接缓冲区中发送到网络中，避免了不必要的数据拷贝和内存分配。 通过 ByteBufAllocator.DEFAULT.directBuffer 方法来创建基于直接内存的 ByteBuf： ByteBuf directBuf = ByteBufAllocator.DEFAULT.directBuffer(16); 通过 ByteBufAllocator.DEFAULT.heapBuffer 方法来创建基于堆内存的 ByteBuf： ByteBuf heapBuf = ByteBufAllocator.DEFAULT.heapBuffer(16); 注意： 直接内存是一种特殊的内存分配方式，可以通过在堆外申请内存来避免 JVM 堆内存的限制，从而提高读写性能和降低 GC 压力。但是，直接内存的创建和销毁代价昂贵，因此需要慎重使用。 此外，由于直接内存不受 JVM 垃圾回收的管理，我们需要主动释放这部分内存，否则会造成内存泄漏。通常情况下，可以使用 ByteBuffer.clear 方法来释放直接内存中的数据，或者使用 ByteBuffer.cleaner 方法来手动释放直接内存空间。 测试代码： public static void testCreateByteBuf { ByteBuf buf = ByteBufAllocator.DEFAULT.buffer(16); System.out.println(buf.getClass); ByteBuf heapBuf = ByteBufAllocator.DEFAULT.heapBuffer(16); System.out.println(heapBuf.getClass); ByteBuf directBuf = ByteBufAllocator.DEFAULT.directBuffer(16); System.out.println(directBuf.getClass); } 运行结果： class io.netty.buffer.PooledUnsafeDirectByteBuf class io.netty.buffer.PooledUnsafeHeapByteBuf class io.netty.buffer.PooledUnsafeDirectByteBuf 池化技术 在 Netty 中，池化技术指的是通过对象池来重用已经创建的对象，从而避免了频繁地创建和销毁对象，这种技术可以提高系统的性能和可伸缩性。 通过设置 VM options，来决定池化功能是否开启： -Dio.netty.allocator.type={unpooled|pooled} 在 Netty 4.1 版本以后，非 Android 平台默认启用池化实现，Android 平台启用非池化实现； 这里我们使用非池化功能进行测试，依旧使用的是上面的测试代码 testCreateByteBuf，运行结果如下所示： class io.netty.buffer.UnpooledByteBufAllocator$InstrumentedUnpooledUnsafeDirectByteBuf class io.netty.buffer.UnpooledByteBufAllocator$InstrumentedUnpooledUnsafeHeapByteBuf class io.netty.buffer.UnpooledByteBufAllocator$InstrumentedUnpooledUnsafeDirectByteBuf 可以看到，ByteBuf 类由 PooledUnsafeDirectByteBuf 变成了 UnpooledUnsafeDirectByteBuf； 在没有池化的情况下，每次使用都需要创建新的 ByteBuf 实例，这个操作会涉及到内存的分配和初始化，如果是直接内存则代价更为昂贵，而且频繁的内存分配也可能导致内存碎片问题，增加 GC 压力。 使用池化技术可以避免频繁内存分配带来的开销，并且重用池中的 ByteBuf 实例，减少了内存占用和内存碎片问题。另外，池化技术还可以采用类似 jemalloc 的内存分配算法，进一步提升分配效率。 在高并发环境下，池化技术的优点更加明显，因为内存的分配和释放都是比较耗时的操作，频繁的内存分配和释放会导致系统性能下降，甚至可能出现内存溢出的风险。使用池化技术可以将内存分配和释放的操作集中到预先分配的池中，从而有效地降低系统的内存开销和风险。 内存释放 当在 Netty 中使用 ByteBuf 来处理数据时，需要特别注意内存回收问题。 Netty 提供了不同类型的 ByteBuf 实现，包括堆内存（JVM 内存）实现 UnpooledHeapByteBuf 和堆外内存（直接内存）实现 UnpooledDirectByteBuf，以及池化技术实现的 PooledByteBuf 及其子类。 UnpooledHeapByteBuf：通过 Java 的垃圾回收机制来自动回收内存； UnpooledDirectByteBuf：由于 JVM 的垃圾回收机制无法管理这些内存，因此需要手动调用 release 方法来释放内存； PooledByteBuf：使用了池化机制，需要更复杂的规则来回收内存; 由于池化技术的特殊性质，释放 PooledByteBuf 对象所使用的内存并不是立即被回收的，而是被放入一个内存池中，待下次分配内存时再次使用。因此，释放 PooledByteBuf 对象的内存可能会延迟到后续的某个时间点。为了避免内存泄漏和占用过多内存，我们需要根据实际情况来设置池化技术的相关参数，以便及时回收内存； Netty 采用了引用计数法来控制 ByteBuf 对象的内存回收，在博文 「源码解析」ByteBuf 的引用计数机制 中将会通过解读源码的形式对 ByteBuf 的引用计数法进行深入理解； 每个 ByteBuf 对象被创建时，都会初始化为1，表示该对象的初始计数为1。 在使用 ByteBuf 对象过程中，如果当前 handler 已经使用完该对象，需要通过调用 release 方法将计数减1，当计数为0时，底层内存会被回收，该对象也就被销毁了。此时即使 ByteBuf 对象还在，其各个方法均无法正常使用。 但是，如果当前 handler 还需要继续使用该对象，可以通过调用 retain 方法将计数加1，这样即使其他 handler 已经调用了 release 方法，该对象的内存仍然不会被回收。这种机制可以有效地避免了内存泄漏和意外访问已经释放的内存的情况。 一般来说，应该尽可能地保证 retain 和 release 方法成对出现，以确保计数正确。
-
F#探险之旅（二）：函数式编程（上）-函数式编程范式简介 F#主要支持三种编程范式：函数式编程（Functional Programming，FP）、命令式编程（Imperative Programming）和面向对象（Object-Oriented，OO）的编程。回顾它们的历史，FP是最早的一种范式，第一种FP语言是IPL，产生于1955年，大约在Fortran一年之前。第二种FP语言是Lisp，产生于1958，早于Cobol一年。Fortan和Cobol都是命令式编程语言，它们在科学和商业领域的迅速成功使得命令式编程在30多年的时间里独领风骚。而产生于1970年代的面向对象编程则不断成熟，至今已是最流行的编程范式。有道是“*代有语言出，各领风骚数十年”。 尽管强大的FP语言（SML，Ocaml，Haskell及Clean等）和类FP语言（APL和Lisp是现实世界中最成功的两个）在1950年代就不断发展，FP仍停留在学院派的“象牙塔”里；而命令式编程和面向对象编程则分别凭着在商业领域和企业级应用的需要占据领先。今天，FP的潜力终被认识——它是用来解决更复杂的问题的（当然更简单的问题也不在话下）。 纯粹的FP将程序看作是接受参数并返回值的函数的集合，它不允许有副作用（side effect，即改变了状态），使用递归而不是循环进行迭代。FP中的函数很像数学中的函数，它们都不改变程序的状态。举个简单的例子，一旦将一个值赋给一个标识符，它就不会改变了，函数不改变参数的值，返回值是全新的值。 FP的数学基础使得它很是优雅，FP的程序看起来往往简洁、漂亮。但它无状态和递归的天性使得它在处理很多通用的编程任务时没有其它的编程范式来得方便。但对F#来说这不是问题，它的优势之一就是融合了多种编程范式，允许开发人员按照需要采用最好的范式。 关于FP的更多内容建议阅读一下这篇文章：Why Functional Programming Matters（中文版）。F#中的函数式编程 从现在开始，我将对F#中FP相关的主要语言结构逐一进行介绍。标识符（Identifier） 在F#中，我们通过标识符给值（value）取名字，这样就可以在后面的程序中引用它。通过关键字let定义标识符，如： let x = 42 这看起来像命令式编程语言中的赋值语句，两者有着关键的不同。在纯粹的FP中，一旦值赋给了标识符就不能改变了，这也是把它称为标识符而非变量（variable）的原因。另外，在某些条件下，我们可以重定义标识符；在F#的命令式编程范式下，在某些条件下标识符的值是可以修改的。 标识符也可用于引用函数，在F#中函数本质上也是值。也就是说，F#中没有真正的函数名和参数名的概念，它们都是标识符。定义函数的方式与定义值是类似的，只是会有额外的标识符表示参数： let add x y = x + y 这里共有三个标识符，add表示函数名，x和y表示它的参数。关键字和保留字关键字是指语言中一些标记，它们被编译器保留作特殊之用。在F#中，不能用作标识符或类型的名称（后面会讨论“定义类型”）。它们是： abstract and as asr assert begin class default delegate do donedowncast downto elif else end exception extern false finally forfun function if in inherit inline interface internal land lazy letlor lsr lxor match member mod module mutable namespace new nullof open or override private public rec return sig static structthen to true try type upcast use val void when while with yield 保留字是指当前还不是关键字，但被F#保留做将来之用。可以用它们来定义标识符或类型名称，但编译器会报告一个警告。如果你在意程序与未来版本编译器的兼容性，最好不要使用。它们是： atomic break checked component const constraint constructor continue eager event external fixed functor global include method mixinobject parallel process protected pure sealed trait virtual volatile 文字值（Literals） 文字值表示常数值，在构建计算代码块时很有用，F#提供了丰富的文字值集。与C#类似，这些文字值包括了常见的字符串、字符、布尔值、整型数、浮点数等，在此不再赘述，详细信息请查看F#手册。 与C#一样，F#中的字符串常量表示也有两种方式。一是常规字符串（regular string），其中可包含转义字符；二是逐字字符串（verbatim string），其中的（"）被看作是常规的字符，而两个双引号作为双引号的转义表示。下面这个简单的例子演示了常见的文字常量表示： let message = "Hello World"r"n!" // 常规字符串let dir = @"C:"FS"FP" // 逐字字符串let bytes = "bytes"B // byte 数组let xA = 0xFFy // sbyte, 16进制表示let xB = 0o777un // unsigned native-sized integer，8进制表示let print x = printfn "%A" xlet main = print message; print dir; print bytes; print xA; print xB; main Printf函数通过F#的反射机制和.NET的ToString方法来解析“%A”模式，适用于任何类型的值，也可以通过F#中的print_any和print_to_string函数来完成类似的功能。值和函数（Values and Functions） 在F#中函数也是值，F#处理它们的语法也是类似的。 let n = 10let add a b = a + blet addFour = add 4let result = addFour n printfn "result = %i" result 可以看到定义值n和函数add的语法很类似，只不过add还有两个参数。对于add来说a + b的值自动作为其返回值，也就是说在F#中我们不需要显式地为函数定义返回值。对于函数addFour来说，它定义在add的基础上，它只向add传递了一个参数，这样对于不同的参数addFour将返回不同的值。考虑数学中的函数概念，F(x, y) = x + y，G(y) = F(4, y)，实际上G(y) = 4 + y，G也是一个函数，它接收一个参数，这个地方是不是很类似？这种只向函数传递部分参数的特性称为函数的柯里化（curried function）。 当然对某些函数来说，传递部分参数是无意义的，此时需要强制提供所有参数，可是将参数括起来，将它们转换为元组（tuple）。下面的例子将不能编译通过： let sub(a, b) = a - blet subFour = sub 4 必须为sub提供两个参数，如sub(4, 5)，这样就很像C#中的方法调用了。 对于这两种方式来说，前者具有更高的灵活性，一般可优先考虑。 如果函数的计算过程中需要定义一些中间值，我们应当将这些行进行缩进： let halfWay a b = let dif = b - a let mid = dif / 2 mid + a 需要注意的是，缩进时要用空格而不是Tab，如果你不想每次都按几次空格键，可以在VS中设置，将Tab字符自动转换为空格；虽然缩进的字符数没有限制，但一般建议用4个空格。而且此时一定要用在文件开头添加#light指令。作用域（Scope）作用域是编程语言中的一个重要的概念，它表示在何处可以访问（使用）一个标识符或类型。所有标识符，不管是函数还是值，其作用域都从其声明处开始，结束自其所处的代码块。对于一个处于最顶层的标识符而言，一旦为其赋值，它的值就不能修改或重定义了。标识符在定义之后才能使用，这意味着在定义过程中不能使用自身的值。 let defineMessage = let message = "Help me" print_endline message // error 对于在函数内部定义的标识符，一般而言，它们的作用域会到函数的结束处。 但可使用let关键字重定义它们，有时这会很有用，对于某些函数来说，计算过程涉及多个中间值，因为值是不可修改的，所以我们就需要定义多个标识符，这就要求我们去维护这些标识符的名称，其实是没必要的，这时可以使用重定义标识符。但这并不同于可以修改标识符的值。你甚至可以修改标识符的类型，但F#仍能确保类型安全。所谓类型安全，其基本意义是F#会避免对值的错误操作，比如我们不能像对待字符串那样对待整数。这个跟C#也是类似的。 let changeType = let x = 1 let x = "change me" let x = x + 1 print_string x 在本例的函数中，第一行和第二行都没问题，第三行就有问题了，在重定义x的时候，赋给它的值是x + 1，而x是字符串，与1相加在F#中是非法的。 另外，如果在嵌套函数中重定义标识符就更有趣了。 let printMessages = let message = "fun value" printfn "%s" message; let innerFun = let message = "inner fun value" printfn "%s" message innerFun printfn "%s" message printMessages 打印结果： fun value inner fun valuefun value 最后一次不是inner fun value，因为在innerFun仅仅将值重新绑定而不是赋值，其有效范围仅仅在innerFun内部。递归（Recursion）递归是编程中的一个极为重要的概念，它表示函数通过自身进行定义，亦即在定义处调用自身。在FP中常用于表达命令式编程的循环。很多人认为使用递归表示的算法要比循环更易理解。 使用rec关键字进行递归函数的定义。看下面的计算阶乘的函数： let rec factorial x = match x with | x when x < 0 -> failwith "value must be greater than or equal to 0" | 0 -> 1 | x -> x * factorial(x - 1) 这里使用了模式匹配（F#的一个很棒的特性），其C#版本为： public static long Factorial(int n) { if (n < 0) { throw new ArgumentOutOfRangeException("value must be greater than or equal to 0"); } if (n == 0) { return 1; } return n * Factorial (n - 1); } 递归在解决阶乘、Fibonacci数列这样的问题时尤为适合。但使用的时候要当心，可能会写出不能终止的递归。匿名函数（Anonymous Function） 定义函数的时候F#提供了第二种方式：使用关键字fun。有时我们没必要给函数起名，这种函数就是所谓的匿名函数，有时称为lambda函数，这也是C#3.0的一个新特性。比如有的函数仅仅作为一个参数传给另一个函数，通常就不需要起名。在后面的“列表”一节中你会看到这样的例子。除了fun，我们还可以使用function关键字定义匿名函数，它们的区别在于后者可以使用模式匹配（本文后面将做介绍）特性。看下面的例子： let x = (fun x y -> x + y) 1 2let x1 = (function x -> function y -> x + y) 1 2let x2 = (function (x, y) -> x + y) (1, 2) 我们可优先考虑fun，因为它更为紧凑，在F#类库中你能看到很多这样的例子。 注意：本文中的代码均在F# 1.9.4.17版本下编写，在F# CTP 1.9.6.0版本下可能不能通过编译。 F#系列随笔索引页面
-
动态规划算法的两种经典解决方式：最优子结构和DP数组的使用解析-动态规划算法问题 什么叫作最优子结构? 和动态规划有什么关系? 为什么动态规划遍历DP数组的方式有正着遍历,有倒着遍历,有斜着遍历? 最优子结构 最优子结构是某些问题的一种特定的性质,并不是动态规划问题所特有的. 很多问题都具有最优子结构,但是其中大部分不具有重叠子问题,所以不会归为动态规划系列的问题 最优子结构: 可以从子问题的最优结果推导出更大规模问题的最优结果 子问题之间必须相互独立 通过改造问题来优化由于子问题之间不独立而导致的最优子结构失效的情况: 问题: 假设学校有10个班,已知每个班的最高分与最低分差值的最大分数差,需要计算全校学生中的最大分数差 分析: 这样的问题就无法通过这10个班的最大分数差来推导出来,因为这10个班的最大分数差不一定就包含全校学生的最大分数差.比如全校的最大分数差可能是由8班的最高分和6班的最低分的分数差而得.这样就导致子问题之间不是互相独立的 改造问题: 直接进行问题改造 int result = 0; for (Student a : school) { for (Student b : school) { if (a is b) { continue; } result = max(result, |a.score - b.score|) } } return result; 改造问题就是将问题等价转化: 最大分数差就等价于最高分数与最低分数的差 那么就是要求最高和最低分数 求最高分数是具备最优子结构的,求最低分数也是具有最优子结构的 这样就样一个不具备最优子结构的问题转化为具备最优子结构的子问题 借助最优子结构解决最值问题,再解决最大分数差问题 题目: 求一棵二叉树的最大值,假设节点中的值都为非负数 int maxVal(TreeNode root) { if (root == null) { return -1; } int left = maxVal(root.left); int right = maxVal(root.right); return max(root.val, left, right); }
-
解析SPSS进行判别分析的步骤和结果