多变量多项式拟议 python 多变量多项式定义
多项式的定义
多项式是代数学中的基础概念,是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。多项式是整式的一种。不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。
多项式数学术语
多项式 polynomial
不含字母的项叫做常数项。如:5X+6,6就是常数项。
比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义,多项式就是整式。实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起作用的定理。0作为多项式时,次数为正无穷大。单项式和多项式统称为整式。
多项式几何特性
多项式是简单的连续函数,它是平滑的,它的微分也必定是多项式。
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。
多项式定理
基本定理
代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理
两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证,如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断,还有艾森斯坦判别法:对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0,但不能整除αn,且p2不能整除常数项α0,那么ƒ(x)在Q上是不可约的。由此可知,对于任一自然数n,在有理数域上xn-2是不可约的。因而,对任一自然数n,都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理
F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外,分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时,根据代数基本定理,可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此,每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时,由于实系数多项式的虚根是成对出现的,即虚根的共轭数仍是根,因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。
当F是有理数域Q时,情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约,就较困难。应用本原多项式理论,可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
多项式运算法则
加法与乘法
有限个单项式之和称为多元多项式,简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式,其中系数不为零的单项式的最高次数,称为此多项式的次数。
多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加,字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。
F上x1,x2,…,xn的多项式全体所成的集合F[x1,x2,…,xn],对于多项式的加法和乘法成为一个环,是具有单位元素的整环。
域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。
带余除法
若 ƒ(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式,且 g(x)≠0,则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x),满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x),其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除ƒ(x)的商式,r(x)称为余式。当g(x)=x-α时,则r(x)=ƒ(α)称为余元,式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α),称为余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式,那么也称g(x) 能整除ƒ(x),或ƒ(x)能被g(x)整除。特别地,x-α是ƒ(x)的因式的充分必要条件是ƒ(α)=0,这时称α是ƒ(x)的一个根。
如果d(x)既是ƒ(x)的因式,又是g(x)的因式,那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式,并且ƒ(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式,那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。如果ƒ(x)=0,那么g(x)就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。当ƒ(x)与g(x)全不为零时,可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式。
辗转相除法
已知一元多项式环F[x] [1]中两个不等于零的多项式ƒ(x)与g(x),用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0,则g(x)就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0,则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。否则,如此辗转相除下去,余式的次数不断降低,经有限s次之后,必有余式为零次(即零次多项式)或余式为零(即零多项式)。若最终余式结果为零次多项式,则原来f(x)与g(x)互素;若最终余式结果为零多项式,则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。
利用辗转相除法的算法,可将ƒ(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的组合,而组合的系数是F上的多项式。
如果ƒ(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式,那么称ƒ(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形。
如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式ƒ(x),不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积,那么称ƒ(x)是F上的一个不可约多项式。
任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积。
多项式应用
函数及根
给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an)。如此, f 可看作一个由 An 到 A 的函数。
若然 f(a1...an)=0,则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。
例如 f=x^2+1。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!
例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。
另外,若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z,则Z的共轨复数也是根。
若P(x)有n个重叠的根,则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x),则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。
插值多项式
在实际问题中,往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x),通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi),j=1,2,…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式,倘若较为复杂,也不便于计算。因此,需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x),此时ƒ(x)称为F(x)的插值函数;x1,x2,…,xn+1,称为插值节点。求插值函数的方法,称为插值法。
多项式是一类简单的初等函数,而且任给两组数:b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1,总有唯一的次数不超过n的多项式ƒ(x)满足ƒ(сi)=bi,i=1,2,…,n+1。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式,称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。
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Grid++Report 锐浪报表开发常见问题解答集锦-报表设计 问:怎样在设计时打印预览报表? 答:为了及时查看报表的设计效果,Grid++Report 报表设计应用程序提供了四种查看视图:普通视图、页面视图、预览视图与查询视图。通过窗口下边的 Tab 按钮可以在四种视图中任意切换。在预览视图中查看报表的打印预览效果,在查询视图中查看报表的查询显示效果。如果在报表的记录集提供了数据源连接串与查询 SQL,在进入预览视图与查询视图时会利用数据源连接串与查询 SQL 从数据源中自动取数,否则 Grid++Report 将自动生成模拟数据进行模拟打印预览与查询显示。注意:在预览视图与查询视图中看到的报表运行结果有可能与在你程序中的最终运行结果有差异,因为在报表的生成过程中我们可以在程序中对报表的生成行为进行一定的控制。 问:怎样用 Grid++Report 设计交叉表? 答:Grid++Report 没有提供专门实现交叉表的功能,其它的报表构件提供的交叉表功能一般也比较死板和功能有限。利用 Grid++Report 的编程接口可以做出灵活多变,功能丰富的交叉表。示例程序 CrossTab 就是一个实现交叉表的例子程序,认真领会此例子程序,你就可以做出自己想要各种交叉表,并能提取一些共用代码,便于重复使用。 问:怎样设置整个报表的缺省字体? 答:设置报表主对象的字体属性,也就是设置了整个报表的缺省字体。如果改变报表主对象的字体属性,则没有专门的设置字体属性的子对象的字体属性也跟随改变。同样每个报表节与明细网格也有字体属性,他们的字体属性也就是其拥有的子对象的缺省字体。 问:怎样在打印时限制一页的输出行数? 答:设定明细网格的内容行的‘每页行数(RowsPerPage)’属性即可。另外要注意‘调节行高(AdjustRowHeight)’属性值:为真时根据页面的输出高度自动调整行的高度,使整个页面的输出区域充满。为假时按设计时的高度输出行。 问:怎样显示中文大写金额? 答:将对象的“格式(Format)”属性设为 “$$” 及可,可以设置格式的对象有:字段(IGRField)、参数(IGRParameter)、系统变量(IGRSystemVarBox)与综合文字框(IGRMemoBox),其中综合文字框是在报表式上设格式。 问:能否实现自定义纸张与票据打印? 答:Grid++Report 完全支持自定义纸张的打印,只要在报表设定时在页面设置中选定自定义纸张,并指定准确的纸张尺寸。当然要在最终输出时得道合适的打印结果,输出打印机必须支持自定义纸张打印。Windows2000/XP/2003 操作系统上可以在打印机上定义自定义纸张,也可以采用这种方式实现自定义纸张打印。 问:怎样实现 0 值不打印? 答:直接设置格式串就可以,在“数字格式”设置对话框中选定“0 不显示”,就会得到合适的格式串。也可以通过直接录入格式串来指定 0 不显示,但格式串必须符合 Grid++Report 的规定格式。另一种实现办法是在报表获取明细记录数据时,在 BeforePostRecord 事件中将值为零的字段设为空,调用字段的 Clear 方法将字段置为空。 问:怎样实现多栏报表? 答:在明细网格上设‘页栏数(PageColumnCount)’属性值大于 1 即可。通过 Grid++Report 的“页栏输出顺序”还可以指定多栏报表的输出顺序是“先从上到下”还是“先从左到右”。 问:如何实现票据套打? 答:Grid++Report 为实现票据套打做了很多专门的安排:报表设计器提供了页面设计模式,按照设定的纸张尺寸显示设计面板,如果将空白票据的扫描图设为设计背景图,在定位报表内容的输出位置会非常方便。报表部件可以设定打印类别,非套打输出的内容在套打打印模式下就不会输出。 问:Grid++Report 有没有横向分页功能? 答:回答是肯定的,在列的总宽度超过打印页面的输出宽度时,Grid++Report 可以另起新页输出剩余的列,如果左边存在锁定列,锁定列可以在后面的新页中重复输出,这样可以保证关键数据列在每一页都有输出。仔细体会 Grid++Report 提供的多种打印适应策略,选用最合适的方式。Grid++Report 的多种打印适应策略为开发动态报表提供了很好的支持。 问:怎样实现报表本页小计功能? 答:定义一个报表分组,将本分组定义为页分组,在本分组的分组头与分组尾上定义统计。页分组就是在每页产生一个分组项,在每页的上端与下端都会分别显示页分组的分组头与分组尾,页分组不用定义分组依据字段。 报表运行 问:怎样与数据库建立连接? 答:如果在设计报表时指定了数据集的数据源连接串与查询 SQL 语句,Grid++Report 采用拉模式直接从数据源取得报表数据,Grid++Report 利用 OLE DB 从数据源取数,OLE DB 提供了广泛的数据源操作能力。如果 Grid++Report 的数据来源采用推模式,即 Grid++Report 不直接与数据库建立连接,各种编程语言/平台都提供了很好的数据库连接方式,并且易于操作,应用程序在报表主对象(IGridppReport)的 FetchRecord 事件中将数据传入,例子程序提供了各种编程语言填入数据的通用方法,对C++Builder 和 Delphi 还进行了专门的包装,直接关联 TDataSet 对象也可以将 TDataSet 对象中的数据传给报表。 问:打印时能否对打印纸张进行自适应?支持表格的折行打印吗? 答:Grid++Report 在打印时采用多种适应策略,通过设置明细网格(IGRDetailGrid)的‘打印策略(PrintAdaptMethod)’属性指定打印策略。(1)丢弃:按设计时列的宽度输出,超出范围的内容不显示。(2)绕行:按设计时列的宽度输出,如果在当前行不能完整输出,则另起新行进行输出。(3)缩放适应:对所有列的输出宽度进行按比例地缩放,使总宽度等于页面的输出宽度。(4)缩小适应:如果列的总宽度小于页面的输出宽度,对所有列的输出宽度进行按比例地缩小,使总宽度等于页面的输出宽度。(5)横向分页:超范围的列在新页中输出。(6)横向分页并重复锁定列。 问:如何改变缺省打印预览窗口的窗口标题? 答:改变报表主对象的‘标题(Title)’属性即可。 问:利用集合对象的编程接口取子对象的接口引用,但不是自己期望的结果。 答:Grid++Report中所有集合对象的下标索引都是从 1 开始,另按对象的名称查找对象的接口引用时,名称字符是不区分大小写的。 问:怎样在运行时控制报表中各个对象的可见性?即怎样在运行时显示或隐藏对象? 答:在报表主对象(GridppReport)的 SectionFormat 事件中设定相应报表子对象的可见(Visible)属性即可。 问:报表主对象重新载入数据,设计器中为什么没有反映新载入的数据? 答:应调用 IGRDesigner 的 Reload 方法。 问:怎样实现不进入打印预览界面,直接将报表打印出来?