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高等代数理论基础 38：线性空间的定义和简单属性

最编程 2024-03-02 21:22:40

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线性空间的定义与简单性质

定义

定义：设V是一个非空集合,P是一个数域,在V的元素之间定义了一种代数运算,叫加法,即给出了一个法则,对于 $\forall \alpha,\beta\in V$ , $\exists !\gamma\in V$ 与之对应,称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和,记作 $\gamma=\alpha+\beta$ ,在P与V的元素之间还定义了一种运算,叫数量乘法,即 $\forall k\in P$ , $\forall \alpha\in V$ , $\exists! \delta$ 与之对应,称为k与 $\alpha$ 的数量乘积,记作 $\delta=k\alpha$ ,若加法与数量乘法满足下列规则,则称V为数域P上的线性空间

加法满足：

1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$

2. $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$

3. $\exists 0\in V,\forall \alpha\in V$ ,有 $0+\alpha=\alpha$

具有该性质的元素0称为V的零元素

4. $\forall \alpha\in V,\exists\beta\in V$ 使 $\alpha+\beta=0$

$\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元素

向量 $\alpha$ 的负元素记作 $-\alpha$

利用负元素定义减法：

$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$

数量乘法满足：

1. $1\alpha=\alpha$

2. $k(l\alpha)=(kl)\alpha$

数量乘法与加法满足：

1. $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$

2. $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

例：

1.几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间

2.分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间,记作 $P^n$

3.一元多项式环 $P[x]$ ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法构成一个数域P上的线性空间,若只考虑次数小于n的多项式,再添上零多项式也构成数域P上的线性空间,记作 $P[x]_n$

4.数域P上的 $m\times n$ 矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P上的线性空间,记作 $P^{m\times n}$

5.数域P按照本身的加法与乘法,构成一个自身上的线性空间

向量

线性空间的元素也称为向量

线性空间也称为向量空间

简单性质

1.零元素是唯一的

证明：

$假设0_1,0_2是线性空间V中的两个零元素$

$下证0_1=0_2$

$\because 0_1是零元素$

$\therefore 0_1+0_2=0_2$

$同理可得0_1+0_2=0_1$

$\therefore 0_1=0_2\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.负元素是唯一的

证明：

$要证负元素是唯一的$

$即证满足条件\alpha+\beta=0的元素\beta是被\alpha唯一确定的$

$假设\alpha有两个负元素\beta与\gamma$

$即\alpha+\beta=0,\alpha+\gamma=0$

$则\beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)$

$=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma\qquad\mathcal{Q.E.D}$

3. $0\alpha=0,k0=0,(-1)\alpha=-\alpha$

证明：

$先证0\alpha=0$

$\because \alpha+0\alpha=1\alpha+0\alpha$

$=(1+0)\alpha=\alpha$

$两边加上-\alpha可得$

$0\alpha=0$

$再证(-1)\alpha=-\alpha$

$\because \alpha+(-1)\alpha=1\alpha+(-1)\alpha$

$=(1-1)\alpha=0\alpha=0$

$两边加上-\alpha可得$

$(-1)\alpha=-\alpha\qquad\mathcal{Q.E.D}$

4. $k\alpha=0\Rightarrow k=0或\alpha=0$

证明：

$假设k\neq 0,则$

$k^{-1}(k\alpha)=k^{-1}0=0$

$又k^{-1}(k\alpha)=(k^{-1}k)\alpha=1\alpha=\alpha$

$\therefore \alpha=0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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