多项式和生成函数

前言

他在讲什么，我多项式学了个寂寞……

右下角有目录请放心使用（并不

右下角的目录只能提取2级标签呢……

有关多项式

元

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​ ​【百度百科】元​​

元(variable (或element))， 是数学的基本概念之一，研究问题中某种独立的对象称为“元”。

多项式或其他代数式中用文字字母所表示的一种抽象的对象常称为元．如称为整系数一元多项式

单位元：

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​ ​【百度百科】单位元​​

单位元(英文常写作Identity Element，即IE)是集合里的一种特别的元

当单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。

对应于加法的单位元称之为加法单位元（通常被标为0），而对应于乘法的单位元则称之为乘法单位元（通常被标为1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上，比如环。

百度百科有实例（好耶

群

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​ ​【百度百科】群​​

在数学中，群表示一个拥有满足​ ​封闭性​​、满足结合律、有单位元、有逆元的​ ​二元运算​​的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类

封闭性：

封闭性，又称闭包。数学里，给定一个非空集合S 和一个函数F : S X S -> S ，则称 F 为在 S 上之二元运算(binary operation)，或称 (S,F) 具有封闭性(closure)。在数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的元素，则该集合被称为在这个运算下闭合。

二元运算：

二元运算是指由两个元素形成第三个元素的一种规则，例如数的加法及乘法;更一般地,由两个集合形成第三个集合的产生方法或构成规则称为二次运算。

二元运算(Binary operation)作用于两个对象的运算。如任意二数相加或相乘而得另一数；任意二集合相交或相并而得另一集合；任意一个多行矩阵与一个多列矩阵相乘而得另一矩阵；任意二函数合成而为另一函数，以上加、乘、交、并，积及合成均属二元运算

百度百科上有简单例子（好耶

阿贝尔群：

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​ ​【百度百科】阿贝尔群​​

阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：

它由自身的集合 G 和二元运算 * 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

（简单说，是有交换律的群）

环：

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​ ​【百度百科】环​​

环(Ring)是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。

其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

在非空集合\(R\)中，若定义了两种代数运算\(+\)和\(×\)（不一定为加与乘），且满足：

集合R在+运算下构成阿贝尔群(Abelian group)。

\(×\)运算在集合\(R\)下满足结合律

\(×\)对\(+\)和有分配律成立

就称：

是一个环。简记为\(R\)。\(R\)上加法群的单位元称为零元。

整环

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​ ​【百度百科】整环​​

一个非零环R叫做一个整环（integral domain），整环是抽象代数中最基本的概念之一。

对任意的\(a,b\)属于环\(R\)，

假如

1、乘法适合交换律ab=ba；

2、R有单位元e；

3、R没有零因子ab=0可得a=0或b=0

则R是整环。

素元

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​ ​【百度百科】素元​​

在数学里，尤其是在抽象代数里，交换环的素元（prime element）是指满足类似整数里的素数或不可约多项式之性质的一个数学物件。须注意的是，素元与不可约元素之间并不相同，虽然在唯一分解整环里是一样的，但在一般情况下则不一定相同

唯一分解整环

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​ ​【百度百科】唯一分解整环​​

唯一分解整环（unique factorization domain）是使得每个其中非零元素都能唯一表成一个单位（环中有乘法逆的元素被称为单位）和素元之积的整环。

本原多项式

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​ ​【百度百科】本原多项式​​

本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式

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座右铭：我从来没有见过这样阴郁而又光明的日子。